Determine se as séries convergem.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{5}}{n^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{5}}{n^{n}}.
O conteúdo utilizado será o teste da raiz (ou radical), que é indicado quando temos potências em n.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \quad\text{onde}\quad a_n = \frac{n^{5}}{n^{n}}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular \sqrt[n]{a_n}:
\sqrt[n]{a_n} =\sqrt[n]{\frac{n^{5}}{n^{n}}} =\frac{\bigl(n^{5}\bigr)^{1/n}}{n} =\frac{n^{5/n}}{n}.
Repare que
\lim_{n\to\infty}n^{5/n} =\exp\!\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{5\ln n}{n}\bigr) =\exp(0) =1.
Portanto
L =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5/n}}{n} =\frac{1}{\infty} =0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{5}}{n^{n}}
converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{5}}{n^{n}} converge.

Exercícios relacionados