Considere os pontos \mathrm{A}(1,2,0), \mathrm{B}(3,-1,2), \mathrm{C}(0,4,1). Determine:
(a) os vetores AB e AC
(b) o produto vetorial AB e AC

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede duas coisas. Dados (peguei estes pontos do enunciado):
  • A(1,2,0)
  • B(3,-1,2)
  • C(0,4,1)
Perguntas:
(a) Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
(b) Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.

Passo 2

Como se obtém um vetor entre dois pontos? Regra: o vetor que vai de P(x_P,y_P,z_P) a Q(x_Q,y_Q,z_Q) é
\overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P,\; y_Q-y_P,\; z_Q-z_P).
Isto é só subtrair coordenada por coordenada do ponto inicial do ponto final. Vou aplicar isso para \overrightarrow{AB}.
Calculemos \overrightarrow{AB} componente a componente:
\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A,\; z_B-z_A).
Substituindo A(1,2,0) e B(3,-1,2):
\overrightarrow{AB} = (3-1,\; -1-2,\; 2-0) = (2,\; -3,\; 2).

Passo 3

Agora \overrightarrow{AC}, usando a mesma fórmula:
\overrightarrow{AC} = (x_C-x_A,\; y_C-y_A,\; z_C-z_A).
Com A(1,2,0) e C(0,4,1):
\overrightarrow{AC} = (0-1,\; 4-2,\; 1-0) = (-1,\; 2,\; 1).

Passo 4

O que é produto vetorial e como calcular na prova? Resumo didático:
  • O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3, \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}, é um vetor perpendicular a ambos e com magnitude igual à área do paralelogramo determinado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}.
  • Computacionalmente, se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3), uma fórmula prática é
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix},
que se expande como
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} = \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\; -(u_1v_3-u_3v_1),\; u_1v_2-u_2v_1\bigr).
No exame, é conveniente memorizar essa fórmula componente a componente ou lembrar o determinante com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso com \overrightarrow{AB}=(2,-3,2) e \overrightarrow{AC}=(-1,2,1).
Usando a forma componente:
  • componente x (primeira): u_2v_3-u_3v_2. Aqui u_2=-3, u_3=2, v_2=2, v_3=1. Então
\text{componente }x = (-3)\cdot 1 - 2\cdot 2 = -3 - 4 = -7.
  • componente y (segunda): -(u_1v_3-u_3v_1). Aqui u_1=2, v_3=1, u_3=2, v_1=-1. Então
\text{componente }y = -\bigl(2\cdot 1 - 2\cdot(-1)\bigr) = -\bigl(2 + 2\bigr) = -4.
  • componente z (terceira): u_1v_2-u_2v_1. Aqui u_1=2, v_2=2, u_2=-3, v_1=-1. Então
\text{componente }z = 2\cdot 2 - (-3)\cdot(-1) = 4 - 3 = 1.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-7,\; -4,\; 1).

Passo 6

Cheque rápido (útil na prova para evitar erros): o produto vetorial deve ser ortogonal a ambos os vetores. Verifico os produtos escalares:
\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr)= 2(-7)+(-3)(-4)+2(1) = -14+12+2 = 0,
\overrightarrow{AC}\cdot\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr)= (-1)(-7)+2(-4)+1(1)=7-8+1=0.
Ambos são zero, confirmação de que o cálculo está consistente. Como informação extra, a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} é \sqrt{(-7)^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{66}.

Resposta

(a) \overrightarrow{AB}=(2,-3,2), \overrightarrow{AC}=(-1,2,1)
(b) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-7,-4,1)

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