Sabendo que tg x=7 e pi<x<3 pi2. Calcule:
sen(x+pi4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que tg x = 7 e que x está no intervalo entre pi e 3pi2. Nosso objetivo é calcular sen(x+pi4).
Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente as fórmulas de adição de ângulos e as relações entre as funções trigonométricas no círculo unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tg x é a tangente de x, que é igual a sen xcos x. Sabemos que tg x = 7, então podemos escrever:
sen xcos x = 7
Isso significa que sen x = 7 cdot cos x.

Passo 3

Para encontrar os valores de sen x e cos x, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:
sen^2 x + cos^2 x = 1
Substituindo sen x por 7 cdot cos x na equação acima:
(7 cdot cos x)^2 + cos^2 x = 1
49 cdot cos^2 x + cos^2 x = 1
50 cdot cos^2 x = 1
cos^2 x = 150
cos x = pm 1raiz50 = pm raiz210

Passo 4

Agora, precisamos determinar o sinal de cos x. Sabemos que x está entre pi e 3pi2, o que significa que está no terceiro quadrante do círculo unitário. Nesse quadrante, tanto o cosseno quanto o seno são negativos. Portanto:
cos x = -raiz210
E, como sen x = 7 cdot cos x:
sen x = 7 cdot (-raiz210) = -7raiz210

Passo 5

Agora que temos sen x e cos x, vamos calcular sen(x+pi4) usando a fórmula da soma de ângulos para o seno:
sen(A + B) = sen A cdot cos B + cos A cdot sen B
Aplicando isso ao nosso caso:
sen(x + pi4) = sen x cdot cos(pi4) + cos x cdot sen(pi4)
Sabemos que sen(pi4) = cos(pi4) = raiz22, então substituindo:
sen(x + pi4) = sen x cdot raiz22 + cos x cdot raiz22

Passo 6

Vamos substituir os valores de sen x e cos x que encontramos:
sen(x + pi4) = (-7raiz210) cdot raiz22 + (-raiz210) cdot raiz22
= -7 cdot 210 cdot 2 - 210 cdot 2
= -1420 - 220
= -1620
= -45

Resposta

sen(x + pi4) = -45

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