Calcule o valor de cos 300^circ cdot cossec 210^circ cdot cotg 330^circsen 225^circ cdot tg 585^circ cdot sec 600^circ.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
cos 300^circ ,csc 210^circ ,cot 330^circsin 225^circ ,tan 585^circ ,sec 600^circ
Aqui vamos usar identidades trigonométricas básicas (periodicidade, sinais nos quadrantes) e definições de funções recíprocas ( csc x=1/sin x, sec x=1/cos x, cot x=cos x/sin x).

Passo 2

Calcular cada fator do numerador:
cos 300^circ:
300circ é 360^circ-60^circ, logo
cos 300^circ=cos(360^circ-60^circ)=cos 60^circ=tfrac12
csc 210^circ:
210circ é 180^circ+30^circ, então
sin 210^circ=sin(180^circ+30^circ)=-sin 30^circ=-tfrac12, csc 210^circ=1sin 210^circ=-2
cot 330^circ:
330circ é 360^circ-30^circ, assim
cos 330^circ=cos 30^circ=tfracraiz32, sin 330^circ=-sin 30^circ=-tfrac12,
cot 330^circ=cos 330^circsin 330^circ =tfracraiz32-tfrac12=-raiz3

Passo 3

Produto do numerador:
cos 300^circ;csc 210^circ;cot 330^circ =l(tfrac12r)times(-2)times(-raiz3) =raiz3

Passo 4

Calcular cada fator do denominador:
sin 225^circ:
225circ é 180^circ+45^circ, logo
sin 225^circ=-sin 45^circ=-tfracraiz22
tan 585^circ:
585circ é 585^circ-360^circ=225^circ, e tan tem período 180^circ, portanto
tan 585^circ=tan 225^circ=tan(180^circ+45^circ)=tan 45^circ=1
sec 600^circ:
600circ é 360^circ+240^circ, e
cos 600^circ=cos 240^circ=cos(180^circ+60^circ)=-cos 60^circ=-tfrac12, sec 600^circ=-2

Passo 5

Produto do denominador:
sin 225^circ;tan 585^circ;sec 600^circ =l(-tfracraiz22r)times1times(-2) =raiz2

Passo 6

Dividindo numerador por denominador e simplificando:
raiz3raiz2 =raiz32 =raiz62

Resposta

cos 300^circ ,csc 210^circ ,cot 330^circsin 225^circ ,tan 585^circ ,sec 600^circ =raiz62

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