Sabendo que sen alpha=35 com 0<alpha<pi e cos beta=13 com 3 pi2<beta<2 pi. Calcule:
tg(alpha+beta)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de trigonometria onde precisamos calcular tg(alpha+beta). Temos duas informações: sen alpha=35 com 0<alpha<pi e cos beta=13 com 3pi2<beta<2pi. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas básicas, como a fórmula da tangente da soma de dois ângulos e as relações entre seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar cos alpha. Sabemos que sen alpha = 35. Usando a identidade trigonométrica sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1, temos:
cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha = 1 - (35)^2 = 1 - 925 = 1625
Como 0 < alpha < pi, cos alpha pode ser positiva ou negativa. No primeiro e segundo quadrantes, cos alpha é positiva no primeiro e negativa no segundo. Mas como só sabemos que 0 < alpha < pi, vamos considerar o valor positivo por padrão:
cos alpha = 45

Passo 3

Agora, vamos calcular tg alpha usando a relação tg alpha = sin alphacos alpha:
tg alpha = 3545 = 34

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar sin beta. Sabemos que cos beta = 13. Usando a identidade sin^2 beta + cos^2 beta = 1:
sin^2 beta = 1 - cos^2 beta = 1 - (13)^2 = 1 - 19 = 89
Como 3pi2 < beta < 2pi, sin beta é negativa nesse intervalo:
sin beta = -2raiz23

Passo 5

Agora, calculamos tg beta:
tg beta = sin betacos beta = -2raiz2313 = -2raiz2

Passo 6

Finalmente, usamos a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
tg(alpha+beta) = tg alpha + tg beta1 - tg alpha tg beta
Substituindo os valores encontrados:
tg(alpha+beta) = 34 + (-2raiz2)1 - (34)(-2raiz2) = 34 - 2raiz21 + 3raiz22

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicamos numerador e denominador por 4 para eliminar as frações:
tg(alpha+beta) = 3 - 8raiz24 + 6raiz2
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, 4 - 6raiz2:
tg(alpha+beta) = (3 - 8raiz2)(4 - 6raiz2)(4 + 6raiz2)(4 - 6raiz2)
Calculando o denominador:
(4)^2 - (6raiz2)^2 = 16 - 72 = -56
Calculando o numerador:
3 cdot 4 + 3 cdot (-6raiz2) - 8raiz2 cdot 4 + (-8raiz2) cdot (-6raiz2) = 12 - 18raiz2 - 32raiz2 + 96 = 108 - 50raiz2
Então:
tg(alpha+beta) = 108 - 50raiz2-56 = -108 - 50raiz256 = -54 - 25raiz228

Resposta

tg(alpha+beta) = -54 - 25raiz228

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