Sabendo que com e . Calcule:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de trigonometria onde precisamos calcular . Temos duas informações: com e com . Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas básicas, como a fórmula da tangente da soma de dois ângulos e as relações entre seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Sabemos que . Usando a identidade trigonométrica , temos:
Como , pode ser positiva ou negativa. No primeiro e segundo quadrantes, é positiva no primeiro e negativa no segundo. Mas como só sabemos que , vamos considerar o valor positivo por padrão:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a relação :

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar . Sabemos que . Usando a identidade :
Como , é negativa nesse intervalo:

Passo 5

Agora, calculamos :

Passo 6

Finalmente, usamos a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicamos numerador e denominador por 4 para eliminar as frações:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, :
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

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