Calcule o valor de y=arctg 1 / 2+arctg 1 / 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
y = arctg12 ;+;arctg13
O conteúdo envolvido é a soma de arctangentes, para a qual usaremos a fórmula que vem da identidade de soma de ângulos no tangente.

Passo 2

A partir da identidade
tan(u+v)=tan u+tan v1-tan u,tan v,
segue-se que, sempre que tan u,tan v<1,
arctga+arctgb =arctg!l(tfraca+b1-abr)

Passo 3

Aqui a=tfrac12 e b=tfrac13. Note que
a,b=12cdot13=16<1,
portanto podemos aplicar a fórmula diretamente.

Passo 4

Calculamos o argumento da arctangente resultante:
a+b1-ab =tfrac12+tfrac131-tfrac16 =tfrac3+26tfrac56 =tfrac56tfrac56 =1

Passo 5

Logo
y = arctg1
E sabemos que arctg1=pi4, pois é o ângulo cujo tangente vale 1 no intervalo (-tfracpi2,tfracpi2).

Resposta

y = pi4

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