Resolver em R :
sen^2 x+cos ^4 x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
sin^2x + cos^4x = 1
O conteúdo envolvido é trigonometria e manipulação de identidades, usando a substituição t=cos^2x para transformar o problema num polinômio em t.

Passo 2

Usamos a identidade sin^2x = 1 - cos^2x. Então
sin^2x + cos^4x = (1 - cos^2x) + (cos^2x)^2
Fazendo t = cos^2x, isso vira
(1 - t) + t^2 = 1

Passo 3

Simplificando a equação em t:
1 - t + t^2 = 1 Longrightarrow t^2 - t = 0 Longrightarrow t(t - 1) = 0
Logo t=0 ou t=1.

Passo 4

Voltando à variável original:
  • Se t=0, então cos^2x = 0, isto é cos x = 0, cujas soluções são x = pi2 + kpi, kinZ
  • Se t=1, então cos^2x = 1, isto é cos x = pm1, cujas soluções são x = kpi, kinZ

Passo 5

A união das duas famílias de soluções é
x = kpi2, kinZ,
pois engloba tanto os múltiplos de pi quanto os pontos pi/2 + kpi.

Resposta

x = kpi2, kinZ

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