1 Calcule um valor aproximado para \cos (0,52) utilizando a Fórmula de Lagrange para os pontos -1,0,1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular um valor aproximado para \cos(0,52) usando a Fórmula de Lagrange interpolando a função \cos(x) pelos pontos x=-1,\;0,\;1,\;2.
Informações dadas (ou que podemos usar diretamente):
x_0=-1,\quad x_1=0,\quad x_2=1,\quad x_3=2.
Os valores da função nesses pontos são (lembre que \cos é função par, então \cos(-1)=\cos(1)):
y_0=\cos(-1)=\cos(1),\quad y_1=\cos(0)=1,\quad y_2=\cos(1),\quad y_3=\cos(2).
Queremos approximar \cos(0,52) por P_3(0,52), onde P_3 é o polinômio de grau \le3 que interpola esses quatro pontos.

Passo 2

Apresentando a Fórmula de Lagrange (aquela do jeitinho “somar bases”): o polinômio interpolador de grau \le3 é
P_3(x)=\sum_{i=0}^{3} y_i\,\ell_i(x),
onde cada polinômio base de Lagrange \ell_i(x) é dado por
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando devagar: \ell_i(x) vale 1 em x=x_i e vale 0 em todos os outros nós x_j ( j\neq i). Multiplicando por y_i e somando, garantimos que P_3(x_i)=y_i para cada i — ou seja, o polinômio passa por todos os pontos dados.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente cada \ell_i(x) para os nós -1,0,1,2.
Para x_0=-1:
\ell_0(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} =\frac{x(x-1)(x-2)}{(-1)(-2)(-3)}=-\frac{1}{6}\,x(x-1)(x-2).
Para x_1=0:
\ell_1(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)} =\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{1\cdot(-1)\cdot(-2)} =\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{2}.
Para x_2=1:
\ell_2(x)=\frac{(x+1)(x-0)(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)} =\frac{(x+1)x(x-2)}{2\cdot1\cdot(-1)}=-\frac{1}{2}\,x(x+1)(x-2).
Para x_3=2:
\ell_3(x)=\frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)} =\frac{(x+1)x(x-1)}{3\cdot2\cdot1}=\frac{1}{6}\,(x+1)x(x-1).

Passo 4

Agora montamos P_3(x)=y_0\ell_0(x)+y_1\ell_1(x)+y_2\ell_2(x)+y_3\ell_3(x).
Como y_0=\cos(-1)=\cos(1) e y_2=\cos(1), podemos agrupar os termos com \cos(1). Denotando c_1=\cos(1) e c_2=\cos(2), temos:
P_3(x)=c_1\big(\ell_0(x)+\ell_2(x)\big)+1\cdot\ell_1(x)+c_2\,\ell_3(x).
Vamos simplificar a soma \ell_0(x)+\ell_2(x). Usando as expressões:
\ell_0(x)=-\frac{1}{6}x(x-1)(x-2),\qquad \ell_2(x)=-\frac{1}{2}x(x+1)(x-2).
Fatorando -x(x-2) obtemos
\ell_0(x)+\ell_2(x)=-x(x-2)\left(\frac{x-1}{6}+\frac{x+1}{2}\right).
Somando as frações dentro do parêntese (denominador comum 6):
\frac{x-1}{6}+\frac{x+1}{2}=\frac{x-1+3(x+1)}{6}=\frac{4x+2}{6}=\frac{2x+1}{3}.
Portanto
\ell_0(x)+\ell_2(x)=-\frac{2x+1}{3}\,x(x-2).
Assim obtemos a forma conveniente:
P_3(x)=-c_1\frac{2x+1}{3}\,x(x-2)+\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{2}+c_2\frac{(x+1)x(x-1)}{6}.

Passo 5

Agora vamos avaliar P_3(x) em x=0,52. Primeiro calculemos termos auxiliares (tudo em radianos):
x=0,52,\quad x+1=1,52,\quad x-1=-0,48,\quad x-2=-1,48.
Calculemos os produtos que aparecem nas bases:
(x+1)(x-1)(x-2)=1,52\cdot(-0,48)\cdot(-1,48)=1,079808,
(x+1)x(x-1)=1,52\cdot0,52\cdot(-0,48)=-0,379392,
x(x-2)=0,52\cdot(-1,48)=-0,7696.
Com isso:
\ell_1(0,52)=\frac{1,079808}{2}=0,539904,
\ell_3(0,52)=\frac{-0,379392}{6}=-0,063232,
\ell_0(0,52)+\ell_2(0,52)=-\frac{2x+1}{3}\,x(x-2)
onde 2x+1=2\cdot0,52+1=2,04, então
\ell_0(0,52)+\ell_2(0,52)=-\frac{2,04}{3}\cdot(-0,7696)=0,523328.

Passo 6

Precisamos dos valores numéricos de \cos(1) e \cos(2) (em radianos). Usamos aproximações decimais suficientes:
c_1=\cos(1)\approx0,5403023059,\qquad c_2=\cos(2)\approx-0,4161468365.

Passo 7

Agora calculamos cada termo de P_3(0,52):
  1. Termo com c_1:
c_1\big(\ell_0(0,52)+\ell_2(0,52)\big)\approx0,5403023059\cdot0,523328\approx0,2827553244.
  1. Termo com \ell_1:
\ell_1(0,52)=0,539904.
  1. Termo com c_2:
c_2\ell_3(0,52)\approx(-0,4161468365)\cdot(-0,063232)\approx0,0263138010.
Somando os três termos:
P_3(0,52)\approx0,2827553244+0,539904+0,0263138010\approx0,8489731254.

Resposta

0,8489731

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