1 Calcule um valor aproximado para
utilizando a Fórmula de Lagrange para os pontos
e 2 .
Passo 1
O enunciado pede: calcular um valor aproximado para
usando a Fórmula de Lagrange interpolando a função
pelos pontos
.
Informações dadas (ou que podemos usar diretamente):
Os valores da função nesses pontos são (lembre que
é função par, então
):
Queremos approximar
por
, onde
é o polinômio de grau
que interpola esses quatro pontos.
Passo 2
Apresentando a Fórmula de Lagrange (aquela do jeitinho “somar bases”): o polinômio interpolador de grau
é
onde cada polinômio base de Lagrange
é dado por
Explicando devagar:
vale
em
e vale
em todos os outros nós
(
). Multiplicando por
e somando, garantimos que
para cada
— ou seja, o polinômio passa por todos os pontos dados.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente cada
para os nós
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora montamos
.
Como e
, podemos agrupar os termos com
. Denotando
e
, temos:
Como
Vamos simplificar a soma
. Usando as expressões:
Fatorando
obtemos
Somando as frações dentro do parêntese (denominador comum
):
Portanto
Assim obtemos a forma conveniente:
Passo 5
Agora vamos avaliar
em
. Primeiro calculemos termos auxiliares (tudo em radianos):
Calculemos os produtos que aparecem nas bases:
Com isso:
onde
, então
Passo 6
Precisamos dos valores numéricos de
e
(em radianos). Usamos aproximações decimais suficientes:
Passo 7
Agora calculamos cada termo de
:
- Termo com
:
- Termo com
:
- Termo com
:
Somando os três termos: