Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir. \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1 \\\\ 2 . x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4 . x_{3}=0 \\\\ 3 . x_{1}^{2}-4 . x_{2}+x_{3}=0\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\left(\begin{array}{l}0.5 \\\\ 0.5 \\\\ 0.5\end{array}\right)
Passo 1
O que o problema pede e quais os dados fornecidos.
O problema pede que eu resolva, pelo Método de Newton para sistemas não lineares, o sistema
Critério de parada: vou usar o critério padrão baseado na norma do passo
\|\Delta \mathbf{x}^{k}\|_{2}<\varepsilon,
ou seja, paro quando a correção do Newton for menor que \varepsilon=10^{-3} (isso garante que a solução não muda significativamente entre iterações). Esse é um critério prático e direto para aplicar na prova.
Agora aplico as iterações, mostrando cálculos e explicando cada etapa.]
Passo 3
Iteração k=0 (a partir de \mathbf{x}^{0}=(0{,}5,0{,}5,0{,}5)^{T}) — cálculo de \mathbf{F}(\mathbf{x}^{0}) e J(\mathbf{x}^{0}).
A norma euclidiana é \|\Delta \mathbf{x}^{2}\|_{2}\approx 0{,}003613, que ainda é maior que \varepsilon=10^{-3}. Portanto preciso de mais uma iteração.]
Agora calculo (aproximadamente) o novo resíduo \mathbf{F}(\mathbf{x}^{3}). Usando linearização (ou avaliando diretamente) obtém-se componentes da ordem de 10^{-6}: