Calcule o valor aproximado de
com erro inferior a
, usando a regra de trapézios e Simpson (Generalizada)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral
usando a regra dos trapézios e a regra de Simpson (generalizada), garantindo que o erro seja menor que
. Para isso, vamos precisar entender como essas regras funcionam e como determinar o número de subdivisões necessárias para alcançar a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a Regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios e somando suas áreas. A precisão dessa aproximação melhora com o aumento do número de trapézios.
A Regra de Simpson, por outro lado, usa parábolas para aproximar a curva. Ela tende a ser mais precisa que a regra dos trapézios para a mesma quantidade de subdivisões.
Passo 3
Para garantir que o erro seja menor que
, precisamos usar fórmulas de erro para cada regra e determinar quantas subdivisões (
) devemos usar.
Erro na Regra dos Trapézios:
Erro na Regra de Simpson:
Onde:
-
e -
-
e são as derivadas segunda e quarta de , respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Agora, vamos encontrar os valores máximos dessas derivadas no intervalo [0, 0.6].
Para
, o máximo ocorre em
:
Para
, o máximo também ocorre em
:
Passo 5
Agora, vamos usar as fórmulas de erro para encontrar o
necessário para cada regra.
Para a Regra dos Trapézios:
Como
precisa ser par na Regra de Simpson, vamos arredondar para o próximo número par:
Para a Regra de Simpson:
Arredondando para o próximo número par:
Passo 6
Agora que temos
para a Regra dos Trapézios e
para a Regra de Simpson, vamos calcular as aproximações.
Regra dos Trapézios:
Onde
Calculando:
Regra de Simpson:
Onde
Calculando:
Passo 7
Vamos calcular os valores das funções:
Para a Regra dos Trapézios:
Calculando cada termo:
-
-
-
- …
-
Somando todos os termos e multiplicando por
dará a aproximação
.
Para a Regra de Simpson:
Calculando:
Calculando:
Aplicando na fórmula:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Regra dos Trapézios:
Após somar todos os valores e multiplicar por , obtemos:
Após somar todos os valores e multiplicar por
Regra de Simpson:
Calculando:
Calculando:
Resposta
O valor aproximado da integral
com erro inferior a
é aproximadamente
, tanto pela Regra dos Trapézios quanto pela Regra de Simpson.