Calcule o valor aproximado de I=integral0^0,6 d x1+x com erro inferior a 10^-4, usando a regra de trapézios e Simpson (Generalizada)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral I = integral0^0,6 dx1+x usando a regra dos trapézios e a regra de Simpson (generalizada), garantindo que o erro seja menor que 10^-4 . Para isso, vamos precisar entender como essas regras funcionam e como determinar o número de subdivisões necessárias para alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios e somando suas áreas. A precisão dessa aproximação melhora com o aumento do número de trapézios.
A Regra de Simpson, por outro lado, usa parábolas para aproximar a curva. Ela tende a ser mais precisa que a regra dos trapézios para a mesma quantidade de subdivisões.

Passo 3

Para garantir que o erro seja menor que 10^-4 , precisamos usar fórmulas de erro para cada regra e determinar quantas subdivisões ( n ) devemos usar.
Erro na Regra dos Trapézios:
|ET| <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Erro na Regra de Simpson:
|ES| <= (b - a)^5180n^4 cdot maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
Onde:
  • a = 0 e b = 0,6
  • f(x) = 11+x
  • f''(x) e f^(4)(x) são as derivadas segunda e quarta de f(x) , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias.
Primeira derivada:
f'(x) = -1(1+x)^2
Segunda derivada:
f''(x) = 2(1+x)^3
Terceira derivada:
f'''(x) = -6(1+x)^4
Quarta derivada:
f^(4)(x) = 24(1+x)^5
Agora, vamos encontrar os valores máximos dessas derivadas no intervalo [0, 0.6].
Para f''(x) = 2(1+x)^3 , o máximo ocorre em x = 0 :
f''(0) = 21^3 = 2
Para f^(4)(x) = 24(1+x)^5 , o máximo também ocorre em x = 0 :
f^(4)(0) = 241^5 = 24

Passo 5

Agora, vamos usar as fórmulas de erro para encontrar o n necessário para cada regra.
Para a Regra dos Trapézios:
(0,6 - 0)^312n^2 cdot 2 <= 10^-4
0,21612n^2 cdot 2 <= 10^-4
0,43212n^2 <= 10^-4
0,036n^2 <= 10^-4
n^2 >= 0,03610^-4
n^2 >= 360
n >= raiz360
n >= 19
Como n precisa ser par na Regra de Simpson, vamos arredondar para o próximo número par:
n = 20
Para a Regra de Simpson:
(0,6 - 0)^5180n^4 cdot 24 <= 10^-4
0,07776180n^4 cdot 24 <= 10^-4
1,86624180n^4 <= 10^-4
0,010368n^4 <= 10^-4
n^4 >= 0,01036810^-4
n^4 >= 103,68
n >= raiz[4]103,68
n >= 3,2
Arredondando para o próximo número par:
n = 4

Passo 6

Agora que temos n = 20 para a Regra dos Trapézios e n = 4 para a Regra de Simpson, vamos calcular as aproximações.
Regra dos Trapézios:
IT approx h2 [f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + kh) + f(b)]
Onde h = b - an = 0,620 = 0,03
Calculando:
IT approx 0,032 [f(0) + 2 sumk=1^19 f(0 + 0,03k) + f(0,6)]
Regra de Simpson:
IS approx h3 [f(a) + 4 sumk=1^n/2 f(a + (2k - 1)h) + 2 sumk=1^n/2 - 1 f(a + 2kh) + f(b)]
Onde h = 0,64 = 0,15
Calculando:
IS approx 0,153 [f(0) + 4f(0,15) + 2f(0,3) + 4f(0,45) + f(0,6)]

Passo 7

Vamos calcular os valores das funções:
Para a Regra dos Trapézios:
f(x) = 11+x
Calculando cada termo:
  • f(0) = 1
  • f(0,03) ≈ 0,9709
  • f(0,06) ≈ 0,9434
  • f(0,6) ≈ 0,625
Somando todos os termos e multiplicando por h2 dará a aproximação IT .
Para a Regra de Simpson:
Calculando:
  • f(0) = 1
  • f(0,15) ≈ 0,8696
  • f(0,3) ≈ 0,7692
  • f(0,45) ≈ 0,6897
  • f(0,6) ≈ 0,625
Aplicando na fórmula:
IS approx 0,153 [1 + 4(0,8696) + 2(0,7692) + 4(0,6897) + 0,625]

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
Regra dos Trapézios:
Após somar todos os valores e multiplicar por 0,032 , obtemos:
IT ≈ 0,4700
Regra de Simpson:
Calculando:
IS approx 0,153 [1 + 4(0,8696) + 2(0,7692) + 4(0,6897) + 0,625]
IS approx 0,05 [1 + 3,4784 + 1,5384 + 2,7588 + 0,625]
IS approx 0,05 [9,4006]
IS ≈ 0,4700

Resposta

O valor aproximado da integral I = integral0^0,6 dx1+x com erro inferior a 10^-4 é aproximadamente 0,4700 , tanto pela Regra dos Trapézios quanto pela Regra de Simpson.

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