Calcule um valor aproximado da seguinte integral usando:
(i) A regra do trapézio e a regra 1 / 3 de Simpson;
(ii) A regra do trapézio generalizada e a regra 1 / 3 de Simpson generalizada com m=4
(iiia) Para cada estimativa numérica de (i) (ii), determine um limite superior de erro
(iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^-5, usando a regra do trapézio generalizada
(v) Usando a regra 1 / 3 de Simpson generalizada em iv) encontre o número de subdivisões.
integral0^pi / 2(6+3 cos x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral0^pi / 2(6 + 3 cos x) , dx usando métodos numéricos: a regra do trapézio e a regra 13 de Simpson. Para isso, precisamos entender essas regras e como aplicá-las para obter uma aproximação da integral.

Passo 2

Regra do Trapézio:
A regra do trapézio aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em n subintervalos iguais e aproximando cada trecho por um trapézio. A fórmula é:
Tn = h2 [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(xk) + f(b) ]
Onde:
  • h = b - an é o tamanho de cada subintervalo.
  • a e b são os limites de integração.
  • xk = a + k cdot h .
Como não foi especificado o valor de n , vamos assumir n = 1 para uma aproximação inicial.
Calculando para n = 1 :
h = pi/2 - 01 = pi2
T1 = pi/22 [ f(0) + f(pi2) ]
f(0) = 6 + 3 cos(0) = 6 + 3 cdot 1 = 9
f(pi2) = 6 + 3 cos(pi2) = 6 + 3 cdot 0 = 6
T1 = pi/22 (9 + 6) = pi4 cdot 15 = 15pi4 approx 11.78
Regra 13 de Simpson:
A regra de Simpson aproxima a integral usando parábolas para cada par de subintervalos. A fórmula é:
Sn = h3 [ f(a) + 4 sumk=1^n/2 f(x2k-1) + 2 sumk=1^n/2 -1 f(x2k) + f(b) ]
Novamente, assumindo n = 2 (pois Simpson requer um número par de subintervalos):
h = pi/2 - 02 = pi4
S2 = pi/43 [ f(0) + 4 f(pi4) + f(pi2) ]
f(pi4) = 6 + 3 cos(pi4) = 6 + 3 cdot raiz22 = 6 + 3raiz22 approx 7.12
S2 = pi/43 (9 + 4 cdot 7.12 + 6) = pi12 (9 + 28.48 + 6) = pi12 cdot 43.48 approx 11.39

Resposta

Usando a regra do trapézio com n = 1 , a aproximação da integral é aproximadamente 11,78. Usando a regra 13 de Simpson com n = 2 , a aproximação é aproximadamente 11,39.

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