A concentração C(t)(em mg / cm^3) de um medicamento no sangue de um paciente depois de t horas é
C(t)=0,016 tt^2+4 t+4
Encontre a concentração máxima no intervalo de tempo [0,8] e o instante em que ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a concentração de um medicamento no sangue de um paciente ao longo do tempo. A fórmula que a gente tem é:
C(t) = 0,016 , tt^2 + 4t + 4
Aqui, C(t) representa a concentração em mg/cm³ após t horas. Nosso objetivo é encontrar a concentração máxima nesse intervalo de tempo de 0 a 8 horas e descobrir quando essa concentração máxima ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar pontos onde a concentração atinge seu pico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a concentração máxima, temos que encontrar o máximo da função C(t) no intervalo dado. Isso significa que vamos procurar valores de t onde a derivada de C(t) , ou seja, C'(t) , é igual a zero ou não existe, e que esses pontos correspondem a máximos locais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de C(t) em relação a t . Temos:
C(t) = 0,016 , tt^2 + 4t + 4
Para derivar uma fração como essa, usamos a regra do quociente, que é dada por:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Onde u = 0,016 , t e v = t^2 + 4t + 4 .
Primeiro, vamos encontrar u' e v' :
u' = ddt(0,016 , t) = 0,016
v' = ddt(t^2 + 4t + 4) = 2t + 4
Aplicando a regra do quociente:
C'(t) = 0,016 cdot (t^2 + 4t + 4) - 0,016t cdot (2t + 4)(t^2 + 4t + 4)^2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do numerador:
0,016 cdot (t^2 + 4t + 4) - 0,016t cdot (2t + 4) = 0,016t^2 + 0,064t + 0,064 - (0,032t^2 + 0,064t)
Simplificando mais:
= 0,016t^2 + 0,064t + 0,064 - 0,032t^2 - 0,064t = -0,016t^2 + 0,064
Então, a derivada fica:
C'(t) = -0,016t^2 + 0,064(t^2 + 4t + 4)^2

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
-0,016t^2 + 0,064(t^2 + 4t + 4)^2 = 0
O denominador (t^2 + 4t + 4)^2 nunca é zero, então basta igualar o numerador a zero:
-0,016t^2 + 0,064 = 0
Resolvendo para t :
-0,016t^2 + 0,064 = 0 -0,016t^2 = -0,064 t^2 = 0,0640,016 t^2 = 4 t = raiz4 t = 2 ou t = -2
Como o tempo t não pode ser negativo no contexto do problema, descartamos t = -2 .

Passo 6

Agora, temos um ponto crítico em t = 2 horas. Para confirmar que esse ponto é realmente um máximo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto. Vamos optar pelo teste da segunda derivada para simplificar.
Calculamos a segunda derivada C''(t) e avaliamos em t = 2 :
No entanto, para simplificar, podemos observar que a função C(t) tem um denominador sempre positivo e o numerador da primeira derivada muda de positivo para negativo em t = 2 , o que indica um máximo local.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o valor da concentração máxima substituindo t = 2 na função C(t) :
C(2) = 0,016 cdot 22^2 + 4 cdot 2 + 4 = 0,0324 + 8 + 4 = 0,03216 = 0,002 , mg/cm^3

Resposta

A concentração máxima do medicamento é 0,002 mg/cm³, ocorrendo após 2 horas.

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