A concentração
de um medicamento no sangue de um paciente depois de
horas é
Encontre a concentração máxima no intervalo de tempo
e o instante em que ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a concentração de um medicamento no sangue de um paciente ao longo do tempo. A fórmula que a gente tem é:
Aqui,
representa a concentração em mg/cm³ após
horas. Nosso objetivo é encontrar a concentração máxima nesse intervalo de tempo de 0 a 8 horas e descobrir quando essa concentração máxima ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar pontos onde a concentração atinge seu pico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar a concentração máxima, temos que encontrar o máximo da função
no intervalo dado. Isso significa que vamos procurar valores de
onde a derivada de
, ou seja,
, é igual a zero ou não existe, e que esses pontos correspondem a máximos locais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Temos:
Para derivar uma fração como essa, usamos a regra do quociente, que é dada por:
Onde
e
.
Primeiro, vamos encontrar
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão do numerador:
Simplificando mais:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
O denominador
nunca é zero, então basta igualar o numerador a zero:
Resolvendo para
:
Como o tempo
não pode ser negativo no contexto do problema, descartamos
.
Passo 6
Agora, temos um ponto crítico em
horas. Para confirmar que esse ponto é realmente um máximo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto. Vamos optar pelo teste da segunda derivada para simplificar.
Calculamos a segunda derivada
e avaliamos em
:
No entanto, para simplificar, podemos observar que a função
tem um denominador sempre positivo e o numerador da primeira derivada muda de positivo para negativo em
, o que indica um máximo local.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o valor da concentração máxima substituindo
na função
:
Resposta
A concentração máxima do medicamento é 0,002 mg/cm³, ocorrendo após 2 horas.