Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.
2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0, x>0 ; y1(x)=x^1 / 2 e y2(x)=x^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
2x^2 y'' + 3x y' - y = 0, x > 0
E duas funções pra verificar se são soluções dessa equação:
y1(x) = x^1/2 e y2(x) = x^-1
Para resolver isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas dessas funções e substituir na equação diferencial pra ver se iguala zero. A matéria que vamos usar aqui é derivadas e substituição em equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar verificando a função y1(x) = x^1/2 .
Primeiro, calculamos a primeira derivada y1'(x) :
y1'(x) = 12 x^-1/2
Agora, a segunda derivada y1''(x) :
y1''(x) = -14 x^-3/2

Passo 3

Agora, substituímos y1(x) , y1'(x) e y1''(x) na equação diferencial:
2x^2 ( -14 x^-3/2 ) + 3x ( 12 x^-1/2 ) - x^1/2 = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. 2x^2 ( -14 x^-3/2 ) = -12 x^2 - 3/2 = -12 x^1/2
  2. 3x ( 12 x^-1/2 ) = 32 x^1 - 1/2 = 32 x^1/2
  3. -x^1/2 permanece igual.
Somando tudo:
-12 x^1/2 + 32 x^1/2 - x^1/2 = 0
Simplificando:
( -12 + 32 - 1 ) x^1/2 = 0 ( 1 - 1 ) x^1/2 = 0 0 = 0
Então, a equação fica verdadeira para y1(x) .

Passo 4

Agora, vamos verificar a função y2(x) = x^-1 .
Calculamos a primeira derivada y2'(x) :
y2'(x) = -x^-2
E a segunda derivada y2''(x) :
y2''(x) = 2x^-3

Passo 5

Substituímos y2(x) , y2'(x) e y2''(x) na equação diferencial:
2x^2 ( 2x^-3 ) + 3x ( -x^-2 ) - x^-1 = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. 2x^2 cdot 2x^-3 = 4x^2 - 3 = 4x^-1
  2. 3x cdot (-x^-2) = -3x^1 - 2 = -3x^-1
  3. -x^-1 permanece igual.
Somando tudo:
4x^-1 - 3x^-1 - x^-1 = 0
Simplificando:
( 4 - 3 - 1 ) x^-1 = 0 0 cdot x^-1 = 0
Então, a equação também fica verdadeira para y2(x) .

Resposta

As funções y1(x) = x^1/2 e y2(x) = x^-1 são soluções da equação diferencial 2x^2 y'' + 3x y' - y = 0 .

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