Defina uma curva parametrizada
cuja imagem seja o círculo
percorrido no sentido horário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa definir uma curva parametrizada
que descreve um círculo com a equação
. Essa curva deve ser percorrida no sentido horário e começar no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano, especialmente para círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação
representa um círculo de raio 2 centrado na origem
. A parametrização padrão de um círculo é dada por:
onde
é o raio e
varia de
a
. Nesse caso,
, então temos:
Passo 3
Mas atenção! Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário e começa no ponto
quando
. Como a gente quer andar no sentido horário e começar no ponto
, precisamos fazer alguns ajustes.
Passo 4
Para inverter a direção da trajetória (ou seja, passar de anti-horário para horário), podemos substituir
por
na parametrização. Além disso, para começar no ponto
em vez de
, vamos ajustar os ângulos.
Vamos então definir:
Passo 5
Vamos verificar se isso funciona:
- Quando
:
Então,
, como queríamos.
- A direção:
A derivada deé , o que indica que, conforme aumenta, diminui inicialmente, ou seja, estamos indo no sentido horário.
Passo 6
Portanto, a parametrização que atende a todos os requisitos é:
Resposta
A curva parametrizada
é definida por:
Isso descreve o círculo
percorrido no sentido horário, começando no ponto
.