Defina uma curva parametrizada alpha cuja imagem seja o círculo x^2+y^2=4 percorrido no sentido horário com alpha(0)=(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa definir uma curva parametrizada alpha que descreve um círculo com a equação x^2 + y^2 = 4. Essa curva deve ser percorrida no sentido horário e começar no ponto (0, 2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano, especialmente para círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação x^2 + y^2 = 4 representa um círculo de raio 2 centrado na origem (0,0). A parametrização padrão de um círculo é dada por:
x(t) = r cos(t)
y(t) = r sin(t)
onde r é o raio e t varia de 0 a 2pi. Nesse caso, r = 2, então temos:
x(t) = 2 cos(t)
y(t) = 2 sin(t)

Passo 3

Mas atenção! Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário e começa no ponto (2, 0) quando t = 0. Como a gente quer andar no sentido horário e começar no ponto (0, 2), precisamos fazer alguns ajustes.

Passo 4

Para inverter a direção da trajetória (ou seja, passar de anti-horário para horário), podemos substituir t por -t na parametrização. Além disso, para começar no ponto (0, 2) em vez de (2, 0), vamos ajustar os ângulos.
Vamos então definir:
x(t) = 2 sin(t)
y(t) = 2 cos(t)

Passo 5

Vamos verificar se isso funciona:
  • Quando t = 0:
x(0) = 2 sin(0) = 0
y(0) = 2 cos(0) = 2
Então, alpha(0) = (0, 2), como queríamos.
  • A direção:
    A derivada de y(t) é dy/dt = -2 sin(t), o que indica que, conforme t aumenta, y diminui inicialmente, ou seja, estamos indo no sentido horário.

Passo 6

Portanto, a parametrização que atende a todos os requisitos é:
alpha(t) = (2 sin(t), 2 cos(t)), para t in [0, 2pi]

Resposta

A curva parametrizada alpha é definida por:
alpha(t) = (2 sin(t), 2 cos(t)), para t in [0, 2pi]
Isso descreve o círculo x^2 + y^2 = 4 percorrido no sentido horário, começando no ponto (0, 2).

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