Calcule um valor aproximado para
utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido. Se o erro na aproximação necessitar ser menor que
, quantas subdivisões serão necessárias para alcançar isso?
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (i) calcular uma aproximação de
usando a regra dos trapézios composta com 5 subdivisões; (ii) dar uma estimativa do erro cometido por essa aproximação; (iii) determinar quantas subdivisões são necessárias para que o erro seja menor que
.
As informações fornecidas são: o integrando , o intervalo de integração
e o número de subdivisões para a primeira aproximação
.
As informações fornecidas são: o integrando
Passo 2
Vamos definir a partição e o passo. Se
é o número de subdivisões em
, o tamanho do passo é
Aqui
,
e
. Logo
Passo 3
Calculemos os nós da partição. Os nós são
Assim:
Passo 4
Avalie a função
em cada nó. Vou escrever em frações quando possível e também em decimal para facilitar:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula composta da regra dos trapézios. Para
subdivisões:
No nosso caso, com
e os valores calculados:
Uma forma prática de simplificar é notar que
Somando com cuidado (ou usando a forma racional para evitar perdas por arredondamento) obtemos
Passo 6
Vamos obter o valor exato da integral para podermos comparar e calcular o erro real. Use a substituição
. Assim
Numericamente,
Passo 7
Calculemos o erro real da aproximação (diferença entre aproximado e exato):
Esse é o erro que de facto foi cometido usando
.
Passo 8
Agora vamos obter uma estimativa teórica (uma cota) para o erro da regra dos trapézios composta. A cota padrão é: se
tem segunda derivada contínua e
, então
Como
, essa desigualdade também pode ser escrita como
Passo 9
Calculemos
para nosso integrando. Temos
. Então
No intervalo
o denominador
cresce, logo
é positiva e decrescente, e o máximo ocorre em
. Portanto
Passo 10
Aplicando a cota com
,
,
e
:
Substituindo
(ou
):
Essa é a cota teórica para o erro com
. Note que é uma cota superior; o erro real que encontramos é bem menor (≈0,0242).
Passo 11
Agora a última pergunta: quantas subdivisões
são necessárias para garantir
usando a cota teórica? Usamos a forma
Aqui
e
, então
Queremos
. Resolvendo:
Logo
Como
deve ser inteiro e o número de subdivisões precisa ser no mínimo esse valor inteiro, tomamos
. Com
a cota fica menor que
; com
ainda seria ligeiramente maior.
Resposta
Aproximação pela regra dos trapézios com 5 subdivisões:
.
Estimativa do erro: erro real ; cota teórica
.
Número de subdivisões para garantir erro :
.
Estimativa do erro: erro real
Número de subdivisões para garantir erro