Calcule um valor aproximado para \int_{0}^{2} \frac{d x}{1+2 x} d x utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido. Se o erro na aproximação necessitar ser menor que 10^{-4}, quantas subdivisões serão necessárias para alcançar isso?

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) calcular uma aproximação de \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{dx}{1+2x} usando a regra dos trapézios composta com 5 subdivisões; (ii) dar uma estimativa do erro cometido por essa aproximação; (iii) determinar quantas subdivisões são necessárias para que o erro seja menor que 10^{-4}.
As informações fornecidas são: o integrando \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+2x}, o intervalo de integração [0,2] e o número de subdivisões para a primeira aproximação n=5.

Passo 2

Vamos definir a partição e o passo. Se n é o número de subdivisões em [a,b], o tamanho do passo é
h=\frac{b-a}{n}.
Aqui a=0, b=2 e n=5. Logo
h=\frac{2-0}{5}=\frac{2}{5}=0,4.

Passo 3

Calculemos os nós da partição. Os nós são
x_k = a + k h,\qquad k=0,1,\dots,5.
Assim:
x_0=0,\; x_1=0,4,\; x_2=0,8,\; x_3=1,2,\; x_4=1,6,\; x_5=2,0.

Passo 4

Avalie a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+2x} em cada nó. Vou escrever em frações quando possível e também em decimal para facilitar:
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=\frac{1}{1+0}=1,\\[4pt] f(x_1)&=f(0,4)=\frac{1}{1+0,8}=\frac{1}{1,8}=\frac{5}{9}\approx 0,555555\ldots,\\[4pt] f(x_2)&=f(0,8)=\frac{1}{1+1,6}=\frac{1}{2,6}=\frac{5}{13}\approx 0,384615\ldots,\\[4pt] f(x_3)&=f(1,2)=\frac{1}{1+2,4}=\frac{1}{3,4}=\frac{5}{17}\approx 0,294117\ldots,\\[4pt] f(x_4)&=f(1,6)=\frac{1}{1+3,2}=\frac{1}{4,2}=\frac{5}{21}\approx 0,238095\ldots,\\[4pt] f(x_5)&=f(2,0)=\frac{1}{1+4}= \frac{1}{5}=0,2. \end{aligned}]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula composta da regra dos trapézios. Para n subdivisões:
T_n = h\left(\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2}\right).
No nosso caso, com h=0,4 e os valores calculados:
T_5 = 0,4\left(\frac{1}{2} + \frac{5}{9} + \frac{5}{13} + \frac{5}{17} + \frac{5}{21} + \frac{1}{10}\right).
Uma forma prática de simplificar é notar que
T_5 = 0,4\Bigl(0,5 + (0,555555\ldots + 0,384615\ldots + 0,294117\ldots + 0,238095\ldots) + 0,1\Bigr).
Somando com cuidado (ou usando a forma racional para evitar perdas por arredondamento) obtemos
T_5 \approx 0,828953530128\\ \text{(aproximadamente)}.

Passo 6

Vamos obter o valor exato da integral para podermos comparar e calcular o erro real. Use a substituição \,u=1+2x\Rightarrow du=2\,dx. Assim
\int_{0}^{2}\frac{dx}{1+2x}=\frac{1}{2}\int_{u(0)}^{u(2)}\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{5}=\frac{1}{2}\ln 5.
Numericamente,
\frac{1}{2}\ln 5 \approx 0,804718956217\ldots

Passo 7

Calculemos o erro real da aproximação (diferença entre aproximado e exato):
E_{\text{real}} = T_5 - \frac{1}{2}\ln 5 \approx 0,828953530128 - 0,804718956217 \approx 0,024234573911.
Esse é o erro que de facto foi cometido usando n=5.

Passo 8

Agora vamos obter uma estimativa teórica (uma cota) para o erro da regra dos trapézios composta. A cota padrão é: se f tem segunda derivada contínua e \displaystyle M=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|, então
|E_T| \le \frac{(b-a)h^2}{12}\,M.
Como h=(b-a)/n, essa desigualdade também pode ser escrita como
|E_T| \le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M.

Passo 9

Calculemos f''(x) para nosso integrando. Temos f(x)=(1+2x)^{-1}. Então
f'(x)=-2(1+2x)^{-2}, \qquad f''(x)=8(1+2x)^{-3}.
No intervalo [0,2] o denominador 1+2x cresce, logo f''(x) é positiva e decrescente, e o máximo ocorre em x=0. Portanto
M=f''(0)=8.

Passo 10

Aplicando a cota com a=0, b=2, M=8 e h=0,4:
|E_T|\le \frac{(2-0)\,h^2}{12}\cdot 8 = \frac{2\cdot h^2}{12}\cdot 8 = \frac{16}{12}h^2 = \frac{4}{3}h^2.
Substituindo h=0,4 (ou h^2=0,16):
|E_T|\le \frac{4}{3}\cdot 0,16 = 0,213333333333\ldots
Essa é a cota teórica para o erro com n=5. Note que é uma cota superior; o erro real que encontramos é bem menor (≈0,0242).

Passo 11

Agora a última pergunta: quantas subdivisões n são necessárias para garantir |E_T|<10^{-4} usando a cota teórica? Usamos a forma
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M.
Aqui (b-a)^3=2^3=8 e M=8, então
|E_T|\le \frac{8\cdot 8}{12\,n^2} = \frac{64}{12\,n^2} = \frac{16}{3\,n^2}.
Queremos \dfrac{16}{3\,n^2}<10^{-4}. Resolvendo:
n^2 > \frac{16}{3\cdot 10^{-4}} = \frac{16}{0,0003} = 53333{,}333\ldots
Logo
n > \sqrt{53333{,}333\ldots}\approx 230{,}94.
Como n deve ser inteiro e o número de subdivisões precisa ser no mínimo esse valor inteiro, tomamos n=231. Com n=231 a cota fica menor que 10^{-4}; com n=230 ainda seria ligeiramente maior.

Resposta

Aproximação pela regra dos trapézios com 5 subdivisões: T_5 \approx 0,828953530128.
Estimativa do erro: erro real |E|\approx 0,024234573911; cota teórica |E|\le 0,213333333333.
Número de subdivisões para garantir erro <10^{-4}: n=231.

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