Calcule um valor aproximado para
utilizando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido. Se o erro na aproximação necessitar ser menor que
, quantas subdivisões serão necessárias para alcançar isso?
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Aproximar a integral
usando a regra de Simpson com subdivisões do intervalo . - Dar uma estimativa (uma cota) para o erro cometido por essa aproximação.
- Determinar quantas subdivisões são necessárias para que o erro da aproximação por Simpson seja menor que
.
Informações dadas e que usaremos diretamente:
Passo 2
Lembrete prático (a “receita”) da regra de Simpson para
par:
onde
e
.
Também usaremos a fórmula de cota do erro para Simpson: se
é contínua em
, existe
tal que o erro
satisfaz
Passo 3
Calculemos
e os nós para
:
Os nós são
A função é
. Avaliamos
em cada nó (usei valores de
conhecidos numericamente):
Passo 4
Aplicando a regra de Simpson com esses valores:
calcule os somatórios
calcule os somatórios
Agora a fórmula:
Substituindo
e os valores:
Calcule o interior:
Portanto
Passo 5
Vamos comparar com o valor exato da integral para ter uma medida do erro real. A integral exata é fácil, porque
. Então
Numericamente,
O erro real é
logo
.
Passo 6
Agora a estimativa teórica do erro (a cota) usando a fórmula do passo 2. Primeiro encontramos
. Para
temos derivadas:
No intervalo
o máximo de
ocorre em
, logo
Aplicando a cota:
Com
temos
. Assim a cota fica
Portanto a cota teórica de erro para
é aproximadamente
, que é maior que o erro real observado (
) — isso é comum: a cota garante que o erro não ultrapassará esse valor, mas costuma ser conservadora.
Passo 7
Agora determinamos
para garantir
usando a cota. Partimos da desigualdade
Substituindo
e
e lembrando
, obtemos
Simplificando os fatores constantes:
Isolando
:
Assim
Agora cálculo numérico aproximado. Primeiro a constante dentro da raiz:
portanto
Logo
Como
deve ser inteiro e a regra de Simpson exige
par, tomamos o próximo inteiro par maior ou igual a isso:
.
Passo 8
Resumo e comentário final: com
a aproximação por Simpson deu
, o erro real foi aproximadamente
e a cota teórica de erro indica
. Para garantir erro abaixo de
pela cota do teorema de Simpson precisamos de
subdivisões (par).
Resposta
Aproximação por Simpson com
:
Estimativa do erro: cota teórica (erro real
)
Número de subdivisões necessárias para erro :
Estimativa do erro: cota teórica
Número de subdivisões necessárias para erro