Calcule um valor aproximado para \int_{0}^{3} e^{2 x} d x utilizando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido. Se o erro na aproximação necessitar ser menor que 10^{-5}, quantas subdivisões serão necessárias para alcançar isso?

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. Aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{3} e^{2x}\,dx usando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo [0,3].
  2. Dar uma estimativa (uma cota) para o erro cometido por essa aproximação.
  3. Determinar quantas subdivisões são necessárias para que o erro da aproximação por Simpson seja menor que 10^{-5}.
Informações dadas e que usaremos diretamente:
f(x)=e^{2x},\qquad a=0,\qquad b=3,\qquad n=6.

Passo 2

Lembrete prático (a “receita”) da regra de Simpson para n par:
S_n=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)+2\sum_{\text{pares, }i\ne0,n} f(x_i)+f(x_n)\Big),í
onde h=\dfrac{b-a}{n} e x_i=a+i h.
Também usaremos a fórmula de cota do erro para Simpson: se f^{(4)} é contínua em [a,b], existe \xi\in[a,b] tal que o erro E_S satisfaz
E_S=\int_a^b f(x)\,dx - S_n,\qquad |E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.

Passo 3

Calculemos h e os nós para n=6:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3}{6}=0{,}5.
Os nós são
x_0=0,\; x_1=0{,}5,\; x_2=1{,}0,\; x_3=1{,}5,\; x_4=2{,}0,\; x_5=2{,}5,\; x_6=3{,}0.
A função é f(x)=e^{2x}. Avaliamos f em cada nó (usei valores de e^k conhecidos numericamente):
\begin{aligned} f(x_0)&=e^{0}=1{,}000000000,\\\ f(x_1)&=e^{1}=2{,}718281828,\\\ f(x_2)&=e^{2}=7{,}389056099,\\\ f(x_3)&=e^{3}=20{,}085536923,\\\ f(x_4)&=e^{4}=54{,}598150033,\\\ f(x_5)&=e^{5}=148{,}413159103,\\\ f(x_6)&=e^{6}=403{,}428793493. \end{aligned}

Passo 4

Aplicando a regra de Simpson com esses valores:
calcule os somatórios
\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)=f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)=2{,}718281828+20{,}085536923+148{,}413159103=171{,}216977854,í
\sum_{\text{pares},\,i\ne0,n} f(x_i)=f(x_2)+f(x_4)=7{,}389056099+54{,}598150033=61{,}987206132.
Agora a fórmula:
S_6=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\cdot171{,}216977854+2\cdot61{,}987206132+f(x_6)\Big).
Substituindo h=0{,}5 e os valores:
S_6=\frac{0{,}5}{3}\Big(1{,}000000000+4\cdot171{,}216977854+2\cdot61{,}987206132+403{,}428793493\Big).
Calcule o interior:
1{,}000000000+4\cdot171{,}216977854=1{,}000000000+684{,}867911416=685{,}867911416,
685{,}867911416+2\cdot61{,}987206132=685{,}867911416+123{,}974412264=809{,}842323680,
809{,}842323680+403{,}428793493=1\,213{,}271117173.
Portanto
S_6=\frac{0{,}5}{3}\cdot 1\,213{,}271117173=\frac{1\,213{,}271117173}{6}=202{,}211852862.

Passo 5

Vamos comparar com o valor exato da integral para ter uma medida do erro real. A integral exata é fácil, porque \int e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C. Então
\int_{0}^{3} e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}\big(e^{6}-e^{0}\big)=\frac{e^{6}-1}{2}.
Numericamente,
\int_{0}^{3} e^{2x}\,dx=\frac{403{,}428793493-1}{2}=201{,}214396746.
O erro real é
E_{\text{real}}= \text{exato} - S_6 =201{,}214396746-202{,}211852862=-0{,}997456116,
logo |E_{\text{real}}|\approx 0{,}997456116.

Passo 6

Agora a estimativa teórica do erro (a cota) usando a fórmula do passo 2. Primeiro encontramos f^{(4)}(x). Para f(x)=e^{2x} temos derivadas:
f'(x)=2e^{2x},\quad f''(x)=4e^{2x},\quad f^{(3)}(x)=8e^{2x},\quad f^{(4)}(x)=16e^{2x}.
No intervalo [0,3] o máximo de |f^{(4)}(x)| ocorre em x=3, logo
\max_{[0,3]}|f^{(4)}(x)|=16e^{6}.
Aplicando a cota:
|E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{[0,3]}|f^{(4)}| =\frac{3}{180}\,h^{4}\,(16e^{6}) =\frac{1}{60}\,h^{4}\,16e^{6}=\frac{4e^{6}}{15}\,h^{4}.
Com h=0{,}5 temos h^{4}=0{,}5^{4}=0{,}0625. Assim a cota fica
|E_S|\le \frac{4e^{6}}{15}\cdot 0{,}0625=\frac{e^{6}}{60}\approx \frac{403{,}428793493}{60}=6{,}723813225.
Portanto a cota teórica de erro para n=6 é aproximadamente 6{,}723813225, que é maior que o erro real observado ( \approx 0{,}997456116) — isso é comum: a cota garante que o erro não ultrapassará esse valor, mas costuma ser conservadora.

Passo 7

Agora determinamos n para garantir |E_S|<10^{-5} usando a cota. Partimos da desigualdade
\frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{[a,b]}|f^{(4)}|\le 10^{-5}.
Substituindo b-a=3 e \max|f^{(4)}|=16e^{6} e lembrando h=\dfrac{3}{n}, obtemos
\frac{3}{180}\left(\frac{3}{n}\right)^{4}16e^{6}\le 10^{-5}.
Simplificando os fatores constantes:
\frac{4e^{6}}{15}\left(\frac{3}{n}\right)^{4}\le 10^{-5}.
Isolando n:
\left(\frac{3}{n}\right)^{4}\le \frac{10^{-5}\cdot 15}{4e^{6}} \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{n}\le \left(\frac{15\cdot 10^{-5}}{4e^{6}}\right)^{1/4}.
Assim
n\ge 3\left(\frac{4e^{6}}{15\cdot 10^{-5}}\right)^{1/4}.
Agora cálculo numérico aproximado. Primeiro a constante dentro da raiz:
\frac{15\cdot 10^{-5}}{4e^{6}}\approx 9{,}2935\times 10^{-8},
portanto
\left(\frac{15\cdot 10^{-5}}{4e^{6}}\right)^{1/4}\approx 0{,}017444.
Logo
n\ge \frac{3}{0{,}017444}\approx 171{,}93.
Como n deve ser inteiro e a regra de Simpson exige n par, tomamos o próximo inteiro par maior ou igual a isso: n=172.

Passo 8

Resumo e comentário final: com n=6 a aproximação por Simpson deu S_6\approx 202{,}211852862, o erro real foi aproximadamente 0{,}997456116 e a cota teórica de erro indica |E_S|\le 6{,}723813225. Para garantir erro abaixo de 10^{-5} pela cota do teorema de Simpson precisamos de n=172 subdivisões (par).

Resposta

Aproximação por Simpson com n=6: 202,211852862
Estimativa do erro: cota teórica \le 6,723813225 (erro real \approx 0,997456116)
Número de subdivisões necessárias para erro <10^{-5}: 172

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