Um objeto maciço e esférico, cujo raio é de 5 cm , possui 500 g de massa. Calcule a densidade desse objeto.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade do objeto e dá os seguintes dados:
  • raio: r=5\\ \text{cm},
  • massa: m=500\\ \text{g}.
    A pergunta é: qual é a densidade do objeto (valor numérico e unidade)?

Passo 2

Definimos densidade como massa dividida pelo volume. Em fórmulas:
\rho = \frac{m}{V},
onde \rho é a densidade, m é a massa e V é o volume do corpo. Essa é a definição básica: quantos gramas (ou quilogramas) existem por unidade de volume.

Passo 3

Como o objeto é esférico, usamos a fórmula do volume da esfera:
V = \frac{4}{3}\pi r^{3},
onde r é o raio da esfera. Essa fórmula vem da geometria: imaginamos dividir a esfera em infinitos discos e somá-los (integração), resultando em \tfrac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 4

Substituímos r=5\\ \text{cm} na fórmula do volume:
V = \frac{4}{3}\pi (5)^{3} = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi\\ \text{cm}^{3}.
Podemos também calcular uma aproximação decimal:
\frac{500}{3}\pi \approx 523,5988\\ \text{cm}^{3}.
(Para obter isso: \tfrac{500}{3}\approx 166,6667 e 166,6667\cdot\pi\approx 523,5988.)

Passo 5

Agora calculamos a densidade em \text{g/cm}^{3}:
\rho = \frac{m}{V} = \frac{500\\ \text{g}}{\tfrac{500}{3}\pi\\ \text{cm}^{3}}.
Simplificando a fração:
\rho = \frac{500\cdot 3}{500\pi}\\ \text{g/cm}^{3} = \frac{3}{\pi}\\ \text{g/cm}^{3}.
Aproximando numericamente:
\frac{3}{\pi} \approx 0,95493\\ \text{g/cm}^{3}.
Observação prática: sempre que der para simplificar fatores (aqui os 500 cancelaram), faz isso — economiza conta na prova.

Passo 6

Se você quiser a densidade em unidades SI ( \text{kg/m}^{3}), convertemos: 1\\ \text{g/cm}^{3}=1000\\ \text{kg/m}^{3}. Então
\rho \approx 0,95493\\ \text{g/cm}^{3} \times 1000 = 954,93\\ \text{kg/m}^{3}.
Essa conversão vem de 1\\ \text{g}=10^{-3}\\ \text{kg} e 1\\ \text{cm}^{3}=10^{-6}\\ \text{m}^{3}, logo a razão ganha um fator 10^{3}.

Passo 7

Resumo prático para a prova: aplicar definição \rho=m/V, usar fórmula do volume da esfera, substituir valores, simplificar e — se pedir — converter unidades. Faz os passos devagar e cancela fatores comuns sempre que possível (aqui foi o 500).

Resposta

\rho = \dfrac{3}{\pi}\\ \text{g/cm}^{3} \approx 0,95493\\ \text{g/cm}^{3}
\rho \approx 954,93\\ \text{kg/m}^{3}

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