Calcule o valor aproximado da integral definida integral0^3(x e^x+1) d x, usando a regra de 1 / 3 de Simpson repetida para 4 subintervalos e estime o erro cometido nessa aproximação. Considere precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Nesta questão, queremos aproximar a integral I=integral0^3l(xe^x+1r),dx usando a regra de Simpson 1/3 composta com 4 subintervalos e estimar o erro dessa aproximação. O método exige calcular o passo h=(b-a)/n e usar a fórmula composta de Simpson. Além disso, para estimar o erro, usamos o termo de erro com a derivada de quarta ordem de f(x)=xe^x+1.

Passo 2

Calculamos o passo e os pontos do particionamento: a = 0, b = 3, n = 4, logo
h=3-04=0.75

Passo 3

Os nós são
x0=0, x1=0.75, x2=1.5, x3=2.25, x4=3

Passo 4

Avaliamos f(x)=xe^x+1 em cada nó:
f0=f(0)=1, f1=f(0.75)=2.5878, f2=f(1.5)=7.7225,
f3=f(2.25)=22.3474, f4=f(3)=61.2566

Passo 5

Aplicamos a regra composta de Simpson:
S=h3l(f0+f4+4(f1+f3)+2f2r) =0.753l(1+61.2566+4(2.5878+22.3474)+2cdot7.7225r) =0.25times177.4423=44.3606

Passo 6

Para estimar o erro, calculamos a quarta derivada de f:
f^(4)(x)=e^x(x+4)

Passo 7

Como e^x(x+4) é crescente em [0,3], basta tomar
M4=max[0,3]|f^(4)(x)|=e^3(3+4)=7e^3approx140.5988

Passo 8

O termo de erro da regra composta de Simpson satisfaz
|E|<=b-a180h^4M4=3180(0.75)^4times140.5988approx0.7420

Resposta

Integral aproximada = 44.3606, com erro estimado |E| ≤ 0.7420.

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