Dadas
o produto de convolução de
e
é a função
Pode-se mostrar que
.
(b) Usando a propriedade acima podemos encontrar soluções de equações integrais do tipo convolução. Calculemos, por exemplo, a solução da equação integral
(b) Usando a propriedade acima podemos encontrar soluções de equações integrais do tipo convolução. Calculemos, por exemplo, a solução da equação integral
Passo 1
O enunciado nos dá a equação integral
que é da forma
. O conteúdo aqui é usar a Transformada de Laplace e a propriedade
Passo 2
Denotando
, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados:
e usando
e
obtemos
Passo 3
Isolamos
:
Observamos que
logo
Passo 4
Fazemos decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
que dá ,
,
. Assim
Passo 5
Aplicando a transformada inversa em cada termo:
Somando esses resultados,