Dadas f, g:[0, infty) R o produto de convolução de f e g é a função
(f * g)(x)=integral0^x f(t) g(x-t) d t
Pode-se mostrar que L[f * g]=L[f] L[g].
(b) Usando a propriedade acima podemos encontrar soluções de equações integrais do tipo convolução. Calculemos, por exemplo, a solução da equação integral
y(t)=3 t+2 integral0^t y(z) cos (t-z) d z

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integral
y(t)=3,t ;+;2integral0^ty(z),cosl(t-zr),dz
que é da forma y(t)=f(t)+2,(y*cos)(t). O conteúdo aqui é usar a Transformada de Laplace e a propriedade
L[y*cos]=L[y];L[cos]

Passo 2

Denotando Y(s)=L[y](s), aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados:
L[y](s)=L[3,t](s)+2,L[y*cos](s)
e usando L[3,t]=tfrac3s^2 e L[cos t]=tfracss^2+1 obtemos
Y(s)=3s^2+2,Y(s),ss^2+1

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)l(1-2,ss^2+1r)=3s^2 Longrightarrow Y(s)=3s^2,s^2+1,s^2+1-2,s,
Observamos que
s^2+1-2,s=(s-1)^2,
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Y(s)=3,(s^2+1)s^2,(s-1)^2

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
que dá , , . Assim

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
L^-1l(tfrac6sr)=6, L^-1l(tfrac3s^2r)=3,t, L^-1l(-tfrac6s-1r)=-6,e^t, L^-1l(tfrac6(s-1)^2r)=6,t,e^t
Somando esses resultados,
y(t)=6+3,t-6,e^t+6,t,e^t

Resposta

boxedy(t)=6+3,t-6,e^t+6,t,e^t

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