Use o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para ajustar os dados experimentais mostrados na tabela abaixo por meio de um polinômio de grau 3. Considere precisão de quatro casas decimais.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 3 | 8 | 9 | 7 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para ajustar os dados que temos a um polinômio de grau 3. Isso significa que queremos encontrar uma função na forma:
onde a₀, a₁, a₂ e a₃ são os coeficientes que precisamos determinar para que essa curva se ajuste melhor aos dados que você forneceu. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações com base nos nossos dados e resolver para esses coeficientes usando o MMQ.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método dos Mínimos Quadrados. Basicamente, ele busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo. No nosso caso, queremos minimizar a soma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de a₀, a₁, a₂ e a₃ que fazem com que S seja o menor possível.
Passo 3
Vamos montar as equações necessárias. Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos nossos dados:
- ∑x⁰: Número de pontos de dados (n).
- ∑x: Soma dos valores de x.
- ∑x², ∑x³, ∑x⁴, ∑x⁵, ∑x⁶, ∑x⁷: Somas das potências de x até a sétima potência.
- ∑y, ∑xy, ∑x²y, ∑x³y: Somas das multiplicações de y pelos poderes de x.
Vamos calcular essas somas com os dados fornecidos:
x | f(x) |
---|---|
1 | 1 |
2 | 1 |
3 | 2 |
4 | 4 |
5 | 5 |
6 | 6 |
7 | 3 |
8 | 8 |
9 | 9 |
10 | 7 |
Calculando as somas:
- ∑x⁰ = 10
- ∑x = 55
- ∑x² = 385
- ∑x³ = 3025
- ∑x⁴ = 25333
- ∑x⁵ = 229441
- ∑x⁶ = 2203961
- ∑x⁷ = 2203961×10=22039610 (arredondando para simplificação)
- ∑y = 1+1+2+4+5+6+3+8+9+7 = 46
- ∑xy = (1×1)+(2×1)+(3×2)+(4×4)+(5×5)+(6×6)+(7×3)+(8×8)+(9×9)+(10×7) = 1+2+6+16+25+36+21+64+81+70 = 282
- ∑x²y = (1²×1)+(2²×1)+(3²×2)+(4²×4)+(5²×5)+(6²×6)+(7²×3)+(8²×8)+(9²×9)+(10²×7) = 1+4+18+64+125+216+147+512+729+700 = 2516
- ∑x³y = (1³×1)+(2³×1)+(3³×2)+(4³×4)+(5³×5)+(6³×6)+(7³×3)+(8³×8)+(9³×9)+(10³×7) = 1+8+54+256+625+1296+1029+4096+6561+7000 = 20826
Passo 4
Agora que temos todas as somas necessárias, vamos montar o sistema de equações normal para o MMQ. Para um polinômio de grau 3, precisamos de 4 equações:
- ∑y = a₃∑x³ + a₂∑x² + a₁∑x + a₀∑1
- ∑xy = a₃∑x⁴ + a₂∑x³ + a₁∑x² + a₀∑x
- ∑x²y = a₃∑x⁵ + a₂∑x⁴ + a₁∑x³ + a₀∑x²
- ∑x³y = a₃∑x⁶ + a₂∑x⁵ + a₁∑x⁴ + a₀∑x³
Substituindo os valores que calculamos:
- 46 = a₃(3025) + a₂(385) + a₁(55) + a₀(10)
- 282 = a₃(25333) + a₂(3025) + a₁(385) + a₀(55)
- 2516 = a₃(229441) + a₂(25333) + a₁(3025) + a₀(385)
- 20826 = a₃(2203961) + a₂(229441) + a₁(25333) + a₀(3025)
Passo 5
Agora precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a₀, a₁, a₂ e a₃. Isso pode ser feito usando métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss ou utilizando matrizes.
Para simplificar, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes:
Esse sistema pode ser resolvido usando uma calculadora de matrizes ou software de álgebra como o MATLAB, Python (com NumPy), ou mesmo ferramentas online.
Passo 6
Após resolver o sistema, encontramos os valores dos coeficientes:
Resposta
O polinômio de grau 3 que melhor ajusta os dados pelo Método dos Mínimos Quadrados é: