Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de
para
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule um valor aproximado relacionado ao volume de um cubo quando o comprimento de cada aresta muda de
para
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Perguntas implícitas (que vou responder): qual é o aumento aproximado do volume e qual o volume aproximado do cubo após a variação.
Passo 2
Escolhendo o método: como a variação da aresta é muito pequena (
), faz sentido usar a aproximação por diferenciais (ou aproximação linear) para estimar a mudança do volume. Essa técnica é rápida e costuma ser pedida em provas quando se trata de pequenas variações — além de dar uma resposta muito próxima do valor exato.
Passo 3
Conceito necessário (aula rápida): se
é o volume em função da aresta
, temos
A derivada
nos dá a taxa de variação instantânea do volume quando
muda; simbolicamente,
Para uma pequena variação
na aresta, a variação aproximada do volume
pode ser estimada por
onde
é a variação pequena (aqui
). Em palavras: multiplicamos a taxa de variação pelo pequeno incremento para obter a mudança aproximada do volume.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto: a aresta inicial vamos chamar de
e a variação é
Calculamos a derivada em
:
Agora a variação aproximada do volume:
Interpretação: o volume aumenta aproximadamente
.
Passo 5
Verificação rápida com o valor exato (para você ver que a aproximação é ótima): o volume exato novo é
Calculando os termos:
Somando:
Aumento exato do volume:
Diferença entre aproximação e exato:
ou seja, a aproximação por diferencial errou apenas cerca de
, um erro relativo de aproximadamente
. Então a aproximação é muito boa.
Resposta
Aumento aproximado do volume:
Volume aproximado final:
Volume aproximado final: