Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 c m para 10.001 c m.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule um valor aproximado relacionado ao volume de um cubo quando o comprimento de cada aresta muda de 10\\ \mathrm{cm} para 10,001\\ \mathrm{cm}.
Informações dadas:
\begin{aligned} \text{aresta inicial }&=10\\ \mathrm{cm},\\\ \text{aresta final }&=10{,}001\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}
Perguntas implícitas (que vou responder): qual é o aumento aproximado do volume e qual o volume aproximado do cubo após a variação.

Passo 2

Escolhendo o método: como a variação da aresta é muito pequena ( 0{,}001\\ \mathrm{cm}), faz sentido usar a aproximação por diferenciais (ou aproximação linear) para estimar a mudança do volume. Essa técnica é rápida e costuma ser pedida em provas quando se trata de pequenas variações — além de dar uma resposta muito próxima do valor exato.

Passo 3

Conceito necessário (aula rápida): se V é o volume em função da aresta a, temos
V(a)=a^{3}.
A derivada V'(a) nos dá a taxa de variação instantânea do volume quando a muda; simbolicamente,
V'(a)=\frac{dV}{da}=3a^{2}.
Para uma pequena variação \Delta a na aresta, a variação aproximada do volume \Delta V pode ser estimada por
\Delta V \approx dV = V'(a)\,da,
onde da é a variação pequena (aqui da=\Delta a). Em palavras: multiplicamos a taxa de variação pelo pequeno incremento para obter a mudança aproximada do volume.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto: a aresta inicial vamos chamar de a=10\\ \mathrm{cm} e a variação é
da=\Delta a=10{,}001-10=0{,}001\\ \mathrm{cm}.
Calculamos a derivada em a=10:
V'(10)=3\cdot 10^{2}=3\cdot 100=300\quad(\mathrm{cm}^{2}).
Agora a variação aproximada do volume:
dV=V'(10)\,da=300\cdot 0{,}001=0{,}3\\ \mathrm{cm}^{3}.
Interpretação: o volume aumenta aproximadamente 0{,}3\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 5

Verificação rápida com o valor exato (para você ver que a aproximação é ótima): o volume exato novo é
(10{,}001)^{3}=10^{3}+3\cdot 10^{2}\cdot 0{,}001+3\cdot 10\cdot(0{,}001)^{2}+(0{,}001)^{3}.
Calculando os termos:
10^{3}=1000,
3\cdot 10^{2}\cdot 0{,}001=0{,}3,
3\cdot 10\cdot(0{,}001)^{2}=3\cdot 10\cdot 10^{-6}=0{,}00003,
(0{,}001)^{3}=10^{-9}=0{,}000000001.
Somando:
(10{,}001)^{3}=1000+0{,}3+0{,}00003+0{,}000000001=1000{,}300030001\\ \mathrm{cm}^{3}.
Aumento exato do volume:
1000{,}300030001-1000=0{,}300030001\\ \mathrm{cm}^{3}.
Diferença entre aproximação e exato:
0{,}300030001-0{,}3=0{,}000030001\\ \mathrm{cm}^{3},
ou seja, a aproximação por diferencial errou apenas cerca de 0{,}00003\\ \mathrm{cm}^{3}, um erro relativo de aproximadamente 0{,}01\%. Então a aproximação é muito boa.

Resposta

Aumento aproximado do volume: 0{,}3\\ \mathrm{cm}^{3}
Volume aproximado final: 1000{,}3\\ \mathrm{cm}^{3}

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