À 1 h o navio A está a 50 k m ao sul do navio B . Se o navio A está navegando para o oeste à razão de 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e o navio B está navegando para o sul a razão de 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, determine a razão na qual varia a distância entre os vario à 1 h 30 min.
Passo 1
O enunciado diz: à 1 h o navio A está a 50\\ \mathrm{km} ao sul do navio B. O navio A navega para o oeste à razão de 25\\ \mathrm{km/h} e o navio B navega para o sul à razão de 30\\ \mathrm{km/h}. A pergunta é: determinar a razão na qual varia a distância entre os navios às 1 h 30 min.
Informações relevantes dadas:
Distância vertical inicial (na direção sul-norte) entre A e B às 1 h: 50\\ \mathrm{km}.
Velocidade de A: 25\\ \mathrm{km/h} para o oeste.
Velocidade de B: 30\\ \mathrm{km/h} para o sul.
Queremos d(\text{distância})/dt no instante 1 h 30 min (ou seja, 30 minutos = 0,5 h após 1 h).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas para modelar a situação (isso facilita usar fórmulas). Colocamos o navio B na origem no instante 1 h, isto é, no tempo inicial t=0 (onde t é medido em horas a partir de 1 h).
Definições de posições em função de t:
Coordenadas do navio A: seja (x_A(t),y_A(t)).
Coordenadas do navio B: seja (x_B(t),y_B(t)).
Pelo enunciado, no instante t=0 temos:
B em (0,0).
A está 50\\ \mathrm{km} ao sul de B, logo em (0,-50).
Movimentos:
A vai para o oeste (negativo em x) com velocidade 25\\ \mathrm{km/h}, então \dfrac{dx_A}{dt}=-25 e \dfrac{dy_A}{dt}=0.
B vai para o sul (negativo em y) com velocidade 30\\ \mathrm{km/h}, então \dfrac{dx_B}{dt}=0 e \dfrac{dy_B}{dt}=-30.
Passo 3
Expressamos as posições explícitas (integrando as velocidades, partindo de t=0 no instante 1 h):
Para A:
x_A(t) = -25t,\qquad y_A(t) = -50.
Para B:
x_B(t) = 0,\qquad y_B(t) = -30t.
A diferença de posições (vetor que vai de B a A) é
Agora aplicamos diferenciação em ambos os lados em relação a t. Usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}s^2(t) = 2s(t)\dfrac{ds}{dt}. Do outro lado derivamos o polinômio normalmente.
Comentário didático curto: esta é a passo padrão em problemas de taxas relacionadas — em vez de derivar diretamente a raiz, deriva-se s^2 e usa-se a cadeia para obter \dfrac{ds}{dt}. Isso evita trabalhar com derivada da raiz de forma direta.
Passo 5
Queremos a taxa às 1 h 30 min, ou seja no tempo t=0{,}5 h (já que t=0 corresponde a 1 h). Substituímos t=0{,}5 no numerador e também precisamos de s(0{,}5).
Interpretação do sinal: o resultado é negativo, o que significa que, às 1 h 30 min, a distância entre os navios está diminuindo à razão de aproximadamente 19{,}84\\ \mathrm{km/h}. Isso faz sentido fisicamente: B está indo para sul enquanto A também está indo para oeste a partir de uma posição ao sul, e no instante considerado as posições fazem a distância diminuir.