À 1 h o navio A está a 50 k m ao sul do navio B . Se o navio A está navegando para o oeste à razão de 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e o navio B está navegando para o sul a razão de 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, determine a razão na qual varia a distância entre os vario à 1 h 30 min.

Passo 1

O enunciado diz: à 1 h o navio A está a 50\\ \mathrm{km} ao sul do navio B. O navio A navega para o oeste à razão de 25\\ \mathrm{km/h} e o navio B navega para o sul à razão de 30\\ \mathrm{km/h}. A pergunta é: determinar a razão na qual varia a distância entre os navios às 1 h 30 min.
Informações relevantes dadas:
  • Distância vertical inicial (na direção sul-norte) entre A e B às 1 h: 50\\ \mathrm{km}.
  • Velocidade de A: 25\\ \mathrm{km/h} para o oeste.
  • Velocidade de B: 30\\ \mathrm{km/h} para o sul.
  • Queremos d(\text{distância})/dtâ no instante 1 h 30 min (ou seja, 30 minutos = 0,5 h após 1 h).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas para modelar a situação (isso facilita usar fórmulas). Colocamos o navio B na origem no instante 1 h, isto é, no tempo inicial t=0 (onde t é medido em horas a partir de 1 h).
Definições de posições em função de t:
  • Coordenadas do navio A: seja (x_A(t),y_A(t)).
  • Coordenadas do navio B: seja (x_B(t),y_B(t)).
Pelo enunciado, no instante t=0 temos:
  • B em (0,0).
  • A está 50\\ \mathrm{km} ao sul de B, logo em (0,-50).
Movimentos:
  • A vai para o oeste (negativo em x) com velocidade 25\\ \mathrm{km/h}, então \dfrac{dx_A}{dt}=-25 e \dfrac{dy_A}{dt}=0.
  • B vai para o sul (negativo em y) com velocidade 30\\ \mathrm{km/h}, então \dfrac{dx_B}{dt}=0 e \dfrac{dy_B}{dt}=-30.

Passo 3

Expressamos as posições explícitas (integrando as velocidades, partindo de t=0 no instante 1 h):
Para A:
x_A(t) = -25t,\qquad y_A(t) = -50.
Para B:
x_B(t) = 0,\qquad y_B(t) = -30t.
A diferença de posições (vetor que vai de B a A) é
\Delta x(t) = x_A(t)-x_B(t) = -25t,
\Delta y(t) = y_A(t)-y_B(t) = -50 - (-30t) = -50 +30t.
A distância entre os navios s(t) é a norma desse vetor, dada pela fórmula da distância euclidiana:
s(t) = \sqrt{(\Delta x(t))^2 + (\Delta y(t))^2}.

Passo 4

Escrevemos s^2(t) para facilitar diferenciação:
s^2(t) = (\Delta x(t))^2 + (\Delta y(t))^2 = (-25t)^2 + (-50+30t)^2.
Expandindo:
s^2(t) = 625t^2 + (-50+30t)^2 = 625t^2 + 2500 -3000t +900t^2.
s^2(t) = 1525t^2 -3000t +2500.
Agora aplicamos diferenciação em ambos os lados em relação a t. Usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}s^2(t) = 2s(t)\dfrac{ds}{dt}. Do outro lado derivamos o polinômio normalmente.
Derivando:
2s(t)\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{d}{dt}\big(1525t^2 -3000t +2500\big) = 3050t -3000.
Portanto isolamos \dfrac{ds}{dt}:
\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{3050t -3000}{2s(t)}.
Comentário didático curto: esta é a passo padrão em problemas de taxas relacionadas — em vez de derivar diretamente a raiz, deriva-se s^2 e usa-se a cadeia para obter \dfrac{ds}{dt}. Isso evita trabalhar com derivada da raiz de forma direta.

Passo 5

Queremos a taxa às 1 h 30 min, ou seja no tempo t=0{,}5 h (já que t=0 corresponde a 1 h). Substituímos t=0{,}5 no numerador e também precisamos de s(0{,}5).
Numerador:
3050t-3000 \big|_{t=0{,}5} = 3050\cdot0{,}5 -3000 = 1525 -3000 = -1475.
Agora calculamos s^2(0{,}5) usando a expressão obtida:
s^2(0{,}5)=1525(0{,}5)^2 -3000(0{,}5) +2500.
s^2(0{,}5)=1525\cdot0{,}25 -1500 +2500 =381{,}25 +1000 =1381{,}25.
Para manipular exatamente em radicais, observe que 1381{,}25 = \dfrac{5525}{4}. Logo
s(0{,}5)=\sqrt{\dfrac{5525}{4}}=\dfrac{\sqrt{5525}}{2}=\dfrac{5\sqrt{221}}{2}.

Passo 6

Substituímos o numerador e s(0{,}5) na fórmula de \dfrac{ds}{dt}:
\dfrac{ds}{dt}\Big|_{t=0{,}5} = \dfrac{-1475}{2s(0{,}5)} = \dfrac{-1475}{2\cdot\frac{5\sqrt{221}}{2}} = \dfrac{-1475}{5\sqrt{221}}.
Simplificando -1475/5 = -295, obtemos a forma exata
\dfrac{ds}{dt}\Big|_{t=0{,}5} = -\dfrac{295}{\sqrt{221}}\quad(\mathrm{km/h}).

Passo 7

Para interpretar numericamente, calculamos a aproximação decimal (útil para a prova quando se pede taxa numérica):
\sqrt{221}\approx 14{,}866\quad\Rightarrow\quad -\dfrac{295}{\sqrt{221}}\approx -19{,}84\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação do sinal: o resultado é negativo, o que significa que, às 1 h 30 min, a distância entre os navios está diminuindo à razão de aproximadamente 19{,}84\\ \mathrm{km/h}. Isso faz sentido fisicamente: B está indo para sul enquanto A também está indo para oeste a partir de uma posição ao sul, e no instante considerado as posições fazem a distância diminuir.

Resposta

-\dfrac{295}{\sqrt{221}}\\ \mathrm{km/h}\n \approx -19,84\\ \mathrm{km/h}

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