Determine a linearização no ponto x=0, das seguintes funções:
(b) -2 \cos ^{3}(x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a linearização no ponto x=0 da função f(x)=-2\cos^3(x).
Informações fornecidas: a função é f(x)=-2\cos^3(x) e o ponto onde queremos a linearização é a=0.
Objetivo explícito: encontrar a função linear L(x) que aproxima f(x) perto de x=0.

Passo 2

O que é linearização e qual fórmula usar.
A linearização de uma função f no ponto a é a reta tangente a f em a e serve como aproximação de primeira ordem. A fórmula padrão é
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).
Aqui:
  • L(x) é a linearização (a reta aproximante);
  • f(a) é o valor da função no ponto de tangência;
  • f'(a) é a derivada de f avaliada em a;
  • x-a é o deslocamento em relação ao ponto de expansão.

Passo 3

Calcular f(a) com a=0. Substituímos x=0 em f(x)=-2\cos^3(x):
f(0)=-2\cos^3(0).
Sabemos que \cos(0)=1, então
f(0)=-2\cdot 1^3=-2.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x). Vou explicar passo a passo usando a regra da cadeia.
Escrevemos f(x) como composição: seja u(x)=\cos(x) e g(u)=-2u^3. Então f(x)=g(u(x)). Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Calculamos as derivadas individuais:
g'(u)=-6u^2\quad\text{(derivada de \(-2u^3\) em relação a \(u\))},çã
u'(x)=-\sin(x)\quad\text{(derivada de \(\cos x\) em relação a \(x\))}.çã
Substituindo u(x)=\cos x,
f'(x)=(-6\cos^2 x)\cdot(-\sin x)=6\cos^2 x\sin x.
Explicando em palavras: a derivada de -2\cos^3 x é 6\cos^2 x\sin x.

Passo 5

Avaliar f'(x) em x=0. Substituímos x=0 em f'(x)=6\cos^2 x\sin x:
f'(0)=6\cos^2(0)\sin(0).
Sabemos que \cos(0)=1 e \sin(0)=0, portanto
f'(0)=6\cdot 1^2\cdot 0=0.

Passo 6

Montar a linearização usando a fórmula do Passo 2 com a=0, f(0)=-2 e f'(0)=0:
L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=-2+0\cdot x.
Simplificando,
L(x)=-2.
Interpretação curta: a reta tangente em x=0 é horizontal e vale constante -2, porque a derivada ali é zero. Isso significa que, para x bem próximo de 0, f(x)\approx -2.

Resposta

L(x)=-2

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