Determine a linearização no ponto
, das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a linearização no ponto
da função
.
Informações fornecidas: a função é e o ponto onde queremos a linearização é
.
Objetivo explícito: encontrar a função linear que aproxima
perto de
.
Informações fornecidas: a função é
Objetivo explícito: encontrar a função linear
Passo 2
O que é linearização e qual fórmula usar.
A linearização de uma função no ponto
é a reta tangente a
em
e serve como aproximação de primeira ordem. A fórmula padrão é
A linearização de uma função
Aqui:
-
é a linearização (a reta aproximante); -
é o valor da função no ponto de tangência; -
é a derivada de avaliada em ; -
é o deslocamento em relação ao ponto de expansão.
Passo 3
Calcular
com
. Substituímos
em
:
Sabemos que
, então
Passo 4
Calcular a derivada
. Vou explicar passo a passo usando a regra da cadeia.
Escrevemos como composição: seja
e
. Então
. Pela regra da cadeia,
Escrevemos
Calculamos as derivadas individuais:
Substituindo
,
Explicando em palavras: a derivada de
é
.
Passo 5
Avaliar
em
. Substituímos
em
:
Sabemos que
e
, portanto
Passo 6
Montar a linearização usando a fórmula do Passo 2 com
,
e
:
Simplificando,
Interpretação curta: a reta tangente em
é horizontal e vale constante
, porque a derivada ali é zero. Isso significa que, para
bem próximo de
,
.