Esboce o gráfico das seguintes funções:
f_{4}(x)=|x|^{x}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função \displaystyle f_{4}(x)=|x|^{x}.
Informações dadas:
  • A expressão da função é \displaystyle f_{4}(x)=|x|^{x}.
  • Preciso apresentar o comportamento do gráfico para x positivos, x negativos, e em torno de x=0.
  • É esperado indicar domínio, limites, pontos notáveis (máximos, mínimos), monotonia e valores úteis para desenhar o esboço.

Passo 2

Escrever a função de forma que facilite análise:
f(x)=|x|^{x}=e^{x\ln|x|},
válida para x\neq0 (pois |x|>0 quando x\neq0). Aqui usei a identidade a^b=e^{b\ln a} com a=|x|>0 e b=x. Essa forma é útil porque converte potências com base variável em exponenciais com expoente simples.

Passo 3

Comportamento em x\to0 (importante para o esboço): calcular o limite lateral.
\lim_{x\to0} x\ln|x| = 0,
porque, por exemplo para x\to0^+, x\ln x\to0 (produto de x\to0 com \ln x\to-\infty 0), e o mesmo raciocínio vale para x\to0^- usando |x|. Logo
\lim_{x\to0} f(x)=\lim_{x\to0} e^{x\ln|x|}=e^{0}=1.
Observação: \;f(0)=|0|^{0}=0^{0} é indeterminado, então a função originalmente não está definida em x=0; porém existe a extensão contínua f(0)=1 se quisermos preencher o ponto no esboço.

Passo 4

Derivada e pontos críticos (para achar extremos e monotonia). Diferenciando f(x)=e^{x\ln|x|} para x\neq0:
f'(x)=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(x\ln|x|\big)=f(x)\big(\ln|x|+1\big).
Explicação rápida do termo: \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} e pela regra do produto \dfrac{d}{dx}(x\ln|x|)=\ln|x|+x\cdot(1/x)=\ln|x|+1.
Pontos críticos ocorrem quando \ln|x|+1=0, isto é
\ln|x|=-1\quad\Rightarrow\quad |x|=e^{-1}=\dfrac{1}{e}.
Portanto os pontos críticos são x=\dfrac{1}{e} e x=-\dfrac{1}{e}.

Passo 5

Valores nos pontos críticos e classificação por sinal de f':
Calcule o valor em x=\dfrac{1}{e}:
f\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx 0,6922.
Para x>0, o sinal de f'(x) é dado por \ln x+1: isso é negativo quando 0<x<1/e (logo f decresce em (0,1/e)) e positivo quando x>1/e (logo f cresce em (1/e,\infty)). Assim x=1/e é um mínimo local (e, na verdade, é o mínimo absoluto para x>0).
Calcule o valor em x=-\dfrac{1}{e}. Usando |x|=1/e e expoente x=-1/e,
f\!\left(-\dfrac{1}{e}\right)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{-1/e}=e^{1/e}\approx 1,4447.
Para x<0, lembrando que f'(x)=f(x)(\ln|x|+1): quando |x|>1/e (isto é x<-1/e) temos \ln|x|+1>0 então f'\!>\!0 (função cresce conforme x aumenta). Para -1/e<x<0 temos \ln|x|+1<0 então f'\!<\!0 (função decresce conforme x aumenta). Logo x=-1/e é um máximo local (o máximo da ramificação esquerda).

Passo 6

Limites nas extremidades e positividade:
  • Para x\to+\infty: x\ln x\to+\infty então f(x)=e^{x\ln x}\to+\infty.
  • Para x\to-\infty: com t=-x\to+\infty temos x\ln|x|=-t\ln t\to-\infty então f(x)\to0^+.
  • Para todo x\neq0 tem-se f(x)>0 (base positiva elevada a potência real).
Portanto a rama esquerda tende a 0 quando x\to-\infty (assintota horizontal em y=0 pela esquerda) e a rama direita cresce sem limite para a direita.

Passo 7

Relação de simetria muito útil para esboçar:
para x>0
f(-x)=|{-x}|^{-x}=x^{-x}=\frac{1}{x^{x}}=\frac{1}{f(x)}.
Isso significa que a parte esquerda do gráfico é a imagem recíproca da parte direita (reflexão vertical recíproca): valores à esquerda são o inverso dos correspondentes à direita. Essa propriedade facilita desenhar a parte negativa a partir da positiva.

Passo 8

Pontos e valores para marcar no esboço (úteis na prova):
\begin{aligned} &\lim_{x\to0}f(x)=1\quad(\text{portanto ponto de continuidade estendida }(0,1)),\\\ &f\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=e^{-1/e}\approx 0,6922\quad(\text{mínimo à direita}),\\\ &f\!\left(-\tfrac{1}{e}\right)=e^{1/e}\approx 1,4447\quad(\text{máximo à esquerda}),\\\ &f(1)=1,\quad f(-1)=1,\\\ &f(2)=2^2=4,\quad f(-2)=\tfrac{1}{4}=0,25. \end{aligned}íàáà

Passo 9

Resumo da monotonia (útil para desenhar):
\begin{aligned} &\text{Para }x>0:\quad f\\ \text{decresce em }(0,\tfrac{1}{e}),\\ \text{cresce em }(\tfrac{1}{e},\infty).\\\ &\text{Para }x<0:\quad f\\ \text{cresce em }(-\infty,-\tfrac{1}{e}),\\ \text{decresce em }(-\tfrac{1}{e},0). \end{aligned}

Passo 10

Como esboçar na prática (passo a passo rápido para a prova):
  1. Marque o ponto limite y=1 em x=0 (ponto pode ser furado se desejar manter a indefinição em 0, ou preenchido se usar a extensão contínua).
  2. Marque x=\pm\tfrac{1}{e} com os valores e^{-1/e}\approx0,6922 (à direita) e e^{1/e}\approx1,4447 (à esquerda).
  3. À direita desenhe a curva saindo de 1 em x\to0^+, descendo até 0,6922 em x=1/e, depois subindo rapidamente para +\infty.
  4. À esquerda desenhe a curva saindo de 1 em x\to0^-, subindo até 1,4447 em x=-1/e, e depois caindo suavemente para 0 quando x\to-\infty.
  5. Use alguns pontos de referência (por ex. (1,1), (2,4) e (-1,1), (-2,0{,}25)) para dar forma.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\} (com extensão contínua em 0 valendo 1).
\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=1.
Pontos críticos: x=\pm\dfrac{1}{e}.
\displaystyle f\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=e^{-1/e}\approx0{,}6922 (mínimo à direita).
\displaystyle f\!\left(-\dfrac{1}{e}\right)=e^{1/e}\approx1{,}4447 (máximo à esquerda).
Monotonia: para x>0 decresce em (0,\tfrac{1}{e}) e cresce em (\tfrac{1}{e},\infty); para x<0 cresce em (-\infty,-\tfrac{1}{e}) e decresce em (-\tfrac{1}{e},0).
Limites nas extremidades: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^+.
Simetria/reciprocidade: f(-x)=1/f(x) para x>0.

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