Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
.
Informações dadas:
- A expressão da função é
. - Preciso apresentar o comportamento do gráfico para
positivos, negativos, e em torno de . - É esperado indicar domínio, limites, pontos notáveis (máximos, mínimos), monotonia e valores úteis para desenhar o esboço.
Passo 2
Escrever a função de forma que facilite análise:
válida para
(pois
quando
). Aqui usei a identidade
com
e
. Essa forma é útil porque converte potências com base variável em exponenciais com expoente simples.
Passo 3
Comportamento em
(importante para o esboço): calcular o limite lateral.
porque, por exemplo para
,
(produto de
com
dá
), e o mesmo raciocínio vale para
usando
. Logo
Observação:
é indeterminado, então a função originalmente não está definida em
; porém existe a extensão contínua
se quisermos preencher o ponto no esboço.
Passo 4
Derivada e pontos críticos (para achar extremos e monotonia). Diferenciando
para
:
Explicação rápida do termo:
e pela regra do produto
.
Pontos críticos ocorrem quando
, isto é
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Valores nos pontos críticos e classificação por sinal de
:
Calcule o valor em
:
Para
, o sinal de
é dado por
: isso é negativo quando
(logo
decresce em
) e positivo quando
(logo
cresce em
). Assim
é um mínimo local (e, na verdade, é o mínimo absoluto para
).
Calcule o valor em
. Usando
e expoente
,
Para
, lembrando que
: quando
(isto é
) temos
então
(função cresce conforme
aumenta). Para
temos
então
(função decresce conforme
aumenta). Logo
é um máximo local (o máximo da ramificação esquerda).
Passo 6
Limites nas extremidades e positividade:
- Para
: então . - Para
: com temos então . - Para todo
tem-se (base positiva elevada a potência real).
Portanto a rama esquerda tende a
quando
(assintota horizontal em
pela esquerda) e a rama direita cresce sem limite para a direita.
Passo 7
Relação de simetria muito útil para esboçar:
para
para
Isso significa que a parte esquerda do gráfico é a imagem recíproca da parte direita (reflexão vertical recíproca): valores à esquerda são o inverso dos correspondentes à direita. Essa propriedade facilita desenhar a parte negativa a partir da positiva.
Passo 8
Pontos e valores para marcar no esboço (úteis na prova):
Passo 9
Resumo da monotonia (útil para desenhar):
Passo 10
Como esboçar na prática (passo a passo rápido para a prova):
- Marque o ponto limite
em (ponto pode ser furado se desejar manter a indefinição em , ou preenchido se usar a extensão contínua). - Marque
com os valores (à direita) e (à esquerda). - À direita desenhe a curva saindo de
em , descendo até em , depois subindo rapidamente para . - À esquerda desenhe a curva saindo de
em , subindo até em , e depois caindo suavemente para quando . - Use alguns pontos de referência (por ex.
e ) para dar forma.
Resposta
Domínio:
(com extensão contínua em
valendo
).
.
Pontos críticos: .
(mínimo à direita).
(máximo à esquerda).
Monotonia: para decresce em
e cresce em
; para
cresce em
e decresce em
.
Limites nas extremidades: .
Simetria/reciprocidade: para
.
Pontos críticos:
Monotonia: para
Limites nas extremidades:
Simetria/reciprocidade: