Calcule o valor da integral
:
(a)
(b)
(c) 1
(d) não existe
(a)
(b)
(c) 1
(d) não existe
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é de
até . - Observação importante:
não está definida em (divisão por zero). Como pertence ao intervalo , a integral é imprópria — ou seja, precisa ser tratada como o limite de integrais em que evitamos o ponto .
Passo 2
Como há uma singularidade em
dentro do intervalo, a estratégia é dividir a integral em duas integrais próprias (uma à esquerda de
e outra à direita) e então tomar limites. Escrevemos:
Por definição, cada uma dessas integrais é entendida como limite:
A integral imprópria original converge (tem valor finito) somente se ambas as duas limitações acima existirem e forem finitas. Se ao menos uma divergir (para
,
ou não tiver limite), a integral original diverge.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva de
para
. Reescrevemos
. Usando a regra da antiderivação para potências: para
,
Aqui
, então
Portanto uma primitiva é
.
Passo 4
Calculemos a integral do lado direito, usando a primitiva e o limite:
Avaliaremos:
Agora o limite quando
de
é
, porque
. Logo
Passo 5
Calculemos a integral do lado esquerdo:
Avaliaremos:
Quando
,
, então o limite é
. Assim
Passo 6
Ambas as integrais laterais divergem para
. Pela definição de integral imprópria, a integral original
não tem valor finito; na linguagem habitual dizemos que a integral diverge e que o seu valor é
. Portanto, entre as alternativas dadas, a correta é a que indica
.
Resposta
(b)