Calcule o valor da integral \int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x :
(a) \frac{1}{2}
(b) \infty
(c) 1
(d) não existe

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função integranda é \frac{1}{x^{2}}.
  • O intervalo de integração é de -1 até 2.
  • Observação importante: \frac{1}{x^{2}} não está definida em x=0 (divisão por zero). Como 0 pertence ao intervalo [-1,2], a integral é imprópria — ou seja, precisa ser tratada como o limite de integrais em que evitamos o ponto 0.

Passo 2

Como há uma singularidade em x=0 dentro do intervalo, a estratégia é dividir a integral em duas integrais próprias (uma à esquerda de 0 e outra à direita) e então tomar limites. Escrevemos:
\int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^{2}}\,dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Por definição, cada uma dessas integrais é entendida como limite:
\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
A integral imprópria original converge (tem valor finito) somente se ambas as duas limitações acima existirem e forem finitas. Se ao menos uma divergir (para +\infty, -\infty ou não tiver limite), a integral original diverge.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva de \frac{1}{x^{2}} para x\neq 0. Reescrevemos \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}. Usando a regra da antiderivação para potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C.
Portanto uma primitiva é F(x) = -\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Calculemos a integral do lado direito, usando a primitiva e o limite:
\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\Big[ -\frac{1}{x} \Big]_{\varepsilon}^{2}.
Avaliaremos:
\Big[ -\frac{1}{x} \Big]_{\varepsilon}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{\varepsilon}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{\varepsilon}.
Agora o limite quando \varepsilon\to 0^{+} de -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\varepsilon} é +\infty, porque \dfrac{1}{\varepsilon}\to +\infty. Logo
\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx = +\infty.

Passo 5

Calculemos a integral do lado esquerdo:
\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\Big[ -\frac{1}{x} \Big]_{-1}^{-\,\varepsilon}.
Avaliaremos:
\Big[ -\frac{1}{x} \Big]_{-1}^{-\,\varepsilon} = \left(-\frac{1}{-\,\varepsilon}\right) - \left(-\frac{1}{-1}\right) = \frac{1}{\varepsilon} - 1.
Quando \varepsilon\to 0^{+}, \dfrac{1}{\varepsilon}\to +\infty, então o limite é +\infty. Assim
\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^{2}}\,dx = +\infty.

Passo 6

Ambas as integrais laterais divergem para +\infty. Pela definição de integral imprópria, a integral original
\int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx
não tem valor finito; na linguagem habitual dizemos que a integral diverge e que o seu valor é +\infty. Portanto, entre as alternativas dadas, a correta é a que indica \infty.

Resposta

(b) \infty

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