Calcule o valor de m em cada caso:
r:l x-m y+1=0 y-z-1=0 s: x=ym=z
(i) re s são paralelas.
(ii) r e s são reversas.

Passo 1

Temos duas retas em
O conteúdo aqui é geometria analítica em (\mathbb{R}^3]. Vamos escrever cada reta em forma paramétrica, identificar seus vetores de direção e pontos, e depois usar condições de paralelismo e de retas reversas (não paralelas e sem interseção).

Passo 2

Para r, escolhemos parâmetro s tal que y=s. Das equações de r vêm
x = m,s - 1, z = s - 1
Logo,
r(s) = l(m,s - 1,;s,;s - 1r)
Um ponto em r é Pr = (-1,0,-1) (quando s=0) e o vetor direção é
vr = ddsr(s) = (m,,1,,1)
Para s, escolhemos parâmetro t tal que x=t. Então
y = m,t, z = t,
e
s(t) = (t,;m,t,;t)
Um ponto em s é Ps = (0,0,0) (quando t=0) e o vetor direção é
vs = (1,,m,,1)

Passo 3

(i) Paralelismo: duas retas são paralelas se e somente se seus vetores direção são múltiplos um do outro, isto é, existe
Isso gera o sistema
Da terceira equação , e da segunda confirma .

Passo 4

(ii) Retas reversas (skew): devem ser não paralelas e não ter ponto em comum.
  • Não paralelas dá
Das primeiras e últimas equações vem
que dá estamos neste passo) e então . Da segunda equação segue , logo .
Portanto, só ha interseção se . Para que não haja interseção precisamos .
Combinando:

Resposta

(i) m = 1.
(ii) m in Rsetminus0,1.

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