Obtenha a interseção da reta
com o plano
:
(a)
(b)
(c)
;
(d)
;
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a interseção entre uma reta e um plano em quatro casos diferentes. O conteúdo é geometria analítica no espaço: trabalharemos com equações paramétricas de reta e com formas cartesiana ou paramétrica de plano. Para cada caso, vamos ou substituir a reta na equação cartesiana do plano, ou igualar coordenadas se o plano estiver em forma paramétrica.
Passo 2
Método geral:
- Se o plano estiver em forma cartesiana
, escrevemos a reta em coordenadas , , e substituímos na equação do plano para achar . - Se o plano estiver em forma paramétrica
, escrevemos a reta e igualamos coordenadas compondo um sistema para .
Em seguida, analisamos se existe solução única (interseção pontual), nenhuma (reta paralela) ou infinitas (reta contida no plano).
Passo 3
Caso (a):
A reta é
A reta é
e o plano é
Substituindo,
O ponto de interseção é
Passo 4
Caso (b):
A reta é
A reta é
e o plano é dado parametricamente por
Igualamos coordenadas:
Das duas últimas igualdades vem
Então
(não é necessário o valor exato para o ponto) e
. O ponto de interseção é
.
Passo 5
Caso (c):
A reta em forma simétrica é
A reta em forma simétrica é
logo
e o plano é
Substituindo,
contradição. Logo não há interseção (reta paralela ao plano).
Passo 6
Caso (d):
A reta é
A reta é
e o plano é
Igualando coordenadas,
Resolvendo o sistema aparece uma família infinita de soluções (
livres), e as três equações são compatíveis sem fixar
. Isso significa que todo ponto da reta satisfaz o plano, ou seja,
está contida em
.
Resposta
(a) O ponto de interseção é
.
(b) O ponto de interseção é .
(c) Não há interseção (reta paralela ao plano).
(d) A reta está contida no plano
(infinitas interseções).
(b) O ponto de interseção é
(c) Não há interseção (reta paralela ao plano).
(d) A reta