Obtenha a interseção da reta r com o plano pi :
(a) r: X=(1,0,1)+lambda(2,1,3) pi: x+y+z=20 ;
(b) r: X=(0,1,1)+lambda(2,1,-3) pi: X=(1,0,0)+de<a(1,0,0)+mu(0,1,1) ;
(c) r: x3=y-12=z-38 pi: 2 x+y-z-6=0;
(d) r: X=(2,3,1)+lambda(1,-1,4) pi: X=(-4,-6,2)+de<a(2,1,3)+mu(3,3,2);

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre uma reta e um plano em quatro casos diferentes. O conteúdo é geometria analítica no espaço: trabalharemos com equações paramétricas de reta e com formas cartesiana ou paramétrica de plano. Para cada caso, vamos ou substituir a reta na equação cartesiana do plano, ou igualar coordenadas se o plano estiver em forma paramétrica.

Passo 2

Método geral:
  1. Se o plano estiver em forma cartesiana pi: ax+by+cz+d=0, escrevemos a reta em coordenadas x=x(lambda), y=y(lambda), z=z(lambda) e substituímos na equação do plano para achar lambda.
  2. Se o plano estiver em forma paramétrica pi: X=P0+de<a,v+mu,w, escrevemos a reta X=R0+lambda,u e igualamos coordenadas compondo um sistema para lambda,de<a,mu.
    Em seguida, analisamos se existe solução única (interseção pontual), nenhuma (reta paralela) ou infinitas (reta contida no plano).

Passo 3

Caso (a):
A reta é
r:;x=1+2lambda,;y=0+lambda,;z=1+3lambda,
e o plano é
pi:;x+y+z=20
Substituindo,
(1+2lambda)+(lambda)+(1+3lambda)=20 Longrightarrow 2+6lambda=20 Longrightarrow lambda=3
O ponto de interseção é
l(1+2cdot3,;0+3,;1+3cdot3r)=(7,3,10)

Passo 4

Caso (b):
A reta é
r:;x=2lambda,;y=1+lambda,;z=1-3lambda,
e o plano é dado parametricamente por
pi:;x=1+de<a,;y=0+mu,;z=0+mu
Igualamos coordenadas:
2lambda = 1+de<a, 1+lambda = mu, 1-3lambda = mu
Das duas últimas igualdades vem
1+lambda = 1-3lambda ;Longrightarrow; 4lambda=0 ;Longrightarrow; lambda=0
Então de<a=2cdot0-1=-1 (não é necessário o valor exato para o ponto) e mu=1. O ponto de interseção é (0,1,1).

Passo 5

Caso (c):
A reta em forma simétrica é
x3=y-12=z-38=t,
logo
x=3t, y=1+2t, z=3+8t,
e o plano é
2x+y-z-6=0
Substituindo,
2(3t)+(1+2t)-(3+8t)-6=0 Longrightarrow 6t+1+2t-3-8t-6=0 Longrightarrow -8=0,
contradição. Logo não há interseção (reta paralela ao plano).

Passo 6

Caso (d):
A reta é
r:;X=(2,3,1)+lambda(1,-1,4),
e o plano é
pi:;X=(-4,-6,2)+de<a(2,1,3)+mu(3,3,2)
Igualando coordenadas,
2+lambda = -4+2de<a+3mu, 3-lambda = -6+de<a+3mu, 1+4lambda = 2+3de<a+2mu
Resolvendo o sistema aparece uma família infinita de soluções ( lambda,de<a,mu livres), e as três equações são compatíveis sem fixar lambda. Isso significa que todo ponto da reta satisfaz o plano, ou seja, r está contida em pi.

Resposta

(a) O ponto de interseção é (7,3,10).
(b) O ponto de interseção é (0,1,1).
(c) Não há interseção (reta paralela ao plano).
(d) A reta r está contida no plano pi (infinitas interseções).

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