Obtenha uma equação geral do plano pi descrito em cada caso:
(i) pi contém o ponto A=(9,-1,0) e é paralelo aos vetores u=(0,1,0) e v=(1,1,1);
(ii) pi contém os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,1) e C=(2,1,2).
(iii) pi contém A=(1,1,0) e B=(1,-1,-1) e é paralelo a u=(2,1,0).
(iv) pi contém A=(1,0,1), B=(2,1,-1) e C= (1,-1,0).
(v) pi contém P=(1,-1,1) e r: X=(0,2,2)+ lambda(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para obter a equação geral de um plano pi em cinco situações diferentes. Para cada caso, vamos identificar dois vetores diretores no plano (ou a reta diretriz), calcular o vetor normal via produto vetorial e usar a forma
nx(x-x0)+ny(y-y0)+nz(z-z0)=0
para obter a equação geral Ax+By+Cz+D=0.

Passo 2

Caso (i): dados A=(9,-1,0), vec u=(0,1,0), vec v=(1,1,1).
vec n=vec utimesvec v = i& j& k0&1&01&1&1 =(1,0,-1)
A equação do plano é
1(x-9)+0(y+1)-1(z-0)=0
implies x - z - 9=0

Passo 3

Caso (ii): A=(1,0,1), B=(-1,0,1), C=(2,1,2).
AB=(-2,0,0), AC=(1,1,1).
vec n=ABtimesAC =(0,2,-2)sim(0,1,-1)
A equação pelo ponto A é
0(x-1)+1(y-0)-1(z-1)=0
implies y - z + 1=0

Passo 4

Caso (iii): A=(1,1,0), B=(1,-1,-1), vec u=(2,1,0).
AB=(0,-2,-1), vec u=(2,1,0).
vec n=ABtimesvec u =(1,-2,4)
A equação pelo ponto A é
1(x-1)-2(y-1)+4(z-0)=0
implies x -2y +4z +1=0

Passo 5

Caso (iv): A=(1,0,1), B=(2,1,-1), C=(1,-1,0).
AB=(1,1,-2), AC=(0,-1,-1).
vec n=ABtimesAC =(-3,1,-1)sim(3,-1,1)
A equação pelo ponto A é
3(x-1)-1(y-0)+1(z-1)=0
implies 3x - y + z -4=0

Passo 6

Caso (v): P=(1,-1,1) e reta rcolon X=(0,2,2)+lambda(1,1,-1).
Direção de r é (1,1,-1). Vetor de P a (0,2,2) é (-1,3,1).
vec n=(1,1,-1)times(-1,3,1) =(4,0,4)sim(1,0,1)
A equação pelo ponto P é
1(x-1)+0(y+1)+1(z-1)=0
implies x + z -2=0

Resposta

(i) x - z - 9=0
(ii) y - z + 1=0
(iii) x - 2y + 4z + 1=0
(iv) 3x - y + z - 4=0
(v) x + z - 2=0

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