Obtenha uma equação geral do plano descrito em cada caso:
(i) contém o ponto e é paralelo aos vetores e ;
(ii) contém os pontos e .
(iii) contém e e é paralelo a .
(iv) contém e .
(v) contém e .
Passo 1
O enunciado pede para obter a equação geral de um plano em cinco situações diferentes. Para cada caso, vamos identificar dois vetores diretores no plano (ou a reta diretriz), calcular o vetor normal via produto vetorial e usar a forma
para obter a equação geral .
Passo 2
Caso (i): dados , , .
A equação do plano é
1(x-9)+0(y+1)-1(z-0)=0
implies x - z - 9=0
Passo 3
Caso (ii): A=(1,0,1), B=(-1,0,1), C=(2,1,2). AB=(-2,0,0), AC=(1,1,1). vec n=ABtimesAC =(0,2,-2)sim(0,1,-1)
A equação pelo ponto A é
0(x-1)+1(y-0)-1(z-1)=0
implies y - z + 1=0
Passo 4
Caso (iii): A=(1,1,0), B=(1,-1,-1), vec u=(2,1,0). AB=(0,-2,-1), vec u=(2,1,0). vec n=ABtimesvec u =(1,-2,4)
A equação pelo ponto A é
1(x-1)-2(y-1)+4(z-0)=0
implies x -2y +4z +1=0
Passo 5
Caso (iv): A=(1,0,1), B=(2,1,-1), C=(1,-1,0). AB=(1,1,-2), AC=(0,-1,-1). vec n=ABtimesAC =(-3,1,-1)sim(3,-1,1)
A equação pelo ponto A é
3(x-1)-1(y-0)+1(z-1)=0
implies 3x - y + z -4=0
Passo 6
Caso (v): P=(1,-1,1) e reta rcolon X=(0,2,2)+lambda(1,1,-1).
Direção de r é (1,1,-1). Vetor de P a (0,2,2) é (-1,3,1). vec n=(1,1,-1)times(-1,3,1) =(4,0,4)sim(1,0,1)
A equação pelo ponto P é
1(x-1)+0(y+1)+1(z-1)=0
implies x + z -2=0
Resposta
(i) x - z - 9=0
(ii) y - z + 1=0
(iii) x - 2y + 4z + 1=0
(iv) 3x - y + z - 4=0
(v) x + z - 2=0