Estude a posição relativa de r e pi :
(a) r:lx=1+lambda y=1-lambda z=lambda pi: x+y-z=-2
(b) r: X=(1,1,0)+lambda(1,-1,1) pi: x+y-2=0
(c) r:l2 x-y-z=5 x-3 y+2 z=0 pi: x+y+4 z=4

Passo 1

Temos três situações de reta r e plano pi. Para cada caso, vamos usar o seguinte procedimento:
  1. Identificar o vetor direção v da reta e o vetor normal n do plano.
  2. Calcular o produto escalar ncdot v:
    • Se ncdot vneq0, a reta corta o plano num único ponto.
    • Se ncdot v=0, a reta é paralela ao plano; então verificamos se um ponto da reta satisfaz a equação do plano:
      • Se satisfizer, a reta está contida no plano.
      • Se não, a reta é paralela e distinta do plano.
  3. No caso de interseção, substituímos a forma paramétrica da reta na equação do plano para achar o parâmetro e o ponto de interseção.

Passo 2

(a)
A reta é dada por
x=1+lambda, y=1-lambda, z=lambda,
logo v=(1,-1,1) e um ponto na reta é P0=(1,1,0). O plano é
pi: x+y-z=-2,
com normal n=(1,1,-1).
Calculamos
ncdot v = 1cdot1 + 1cdot(-1) + (-1)cdot1 = -1 neq 0,
portanto a reta intersecta o plano em um ponto. Substituindo na equação do plano:
(1+lambda)+(1-lambda)-lambda = -2 ;Longrightarrow;2-lambda=-2 ;Longrightarrow;lambda=4
O ponto de interseção é
P=(1+4,;1-4,;4)=(5,-3,4)

Passo 3

(b)
A reta em forma vetorial é
X=(1,1,0)+lambda(1,-1,1),
logo v=(1,-1,1) e P0=(1,1,0). O plano é
pi: x+y-2=0,
com normal n=(1,1,0).
Calculamos
ncdot v = 1cdot1 + 1cdot(-1) + 0cdot1 = 0,
ou seja, a reta é paralela ao plano. Agora verificamos P0 no plano:
1+1-2=0,
logo P0 satisfaz a equação. Conclusão: a reta está totalmente contida em pi.

Passo 4

(c)
A reta é dada como interseção dos planos
2x - y - z = 5, x - 3y + 2z = 0
Sejam n1=(2,-1,-1) e n2=(1,-3,2). O vetor direção é
v = n1times n2 = l| i & j & k 2 & -1 & -1 1 & -3 & 2 r| = (-5,-5,-5) sim(1,1,1)
Para achar um ponto, seja z=t. Da segunda equação x=3y-2t. Substituindo na primeira:
2(3y-2t)-y-t=5;Longrightarrow;5y-5t=5;Longrightarrow;y=t+1, ;x=t+3
Então
r:;(x,y,z)=(t+3,;t+1,;t),; v=(1,1,1)
O plano é pi:x+y+4z=4 com n=(1,1,4).
ncdot v = 1+1+4 =6neq0,
então há interseção. Substituindo na equação do plano:
(t+3)+(t+1)+4t=4 ;Longrightarrow;6t+4=4 ;Longrightarrow;t=0
O ponto de interseção é (3,1,0).

Resposta

(a) A reta corta o plano em (5,-3,4).
(b) A reta está contida no plano.
(c) A reta corta o plano em (3,1,0).

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