Estude a posição relativa de
e
:
(a)
(b)
r: X=(1,1,0)+lambda(1,-1,1) pi: x+y-2=0
(c)
r:l2 x-y-z=5 x-3 y+2 z=0 pi: x+y+4 z=4
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Temos três situações de reta
r e plano
pi . Para cada caso, vamos usar o seguinte procedimento:
- Identificar o vetor direção
da reta e o vetor normalv do plano.n - Calcular o produto escalar
:ncdot v - Se
, a reta corta o plano num único ponto.ncdot vneq0 - Se
, a reta é paralela ao plano; então verificamos se um ponto da reta satisfaz a equação do plano:ncdot v=0 - Se satisfizer, a reta está contida no plano.
- Se não, a reta é paralela e distinta do plano.
- Se
- No caso de interseção, substituímos a forma paramétrica da reta na equação do plano para achar o parâmetro e o ponto de interseção.
Passo 2
(a)
A reta é dada por
A reta é dada por
logo
v=(1,-1,1) e um ponto na reta é
P0=(1,1,0) . O plano é
com normal
n=(1,1,-1) .
Calculamos
Calculamos
portanto a reta intersecta o plano em um ponto. Substituindo na equação do plano:
O ponto de interseção é
Passo 3
(b)
A reta em forma vetorial é
A reta em forma vetorial é
logo
v=(1,-1,1) e
P0=(1,1,0) . O plano é
com normal
n=(1,1,0) .
Calculamos
Calculamos
ou seja, a reta é paralela ao plano. Agora verificamos
P0 no plano:
logo
P0 satisfaz a equação. Conclusão: a reta está totalmente contida em
pi .
Passo 4
(c)
A reta é dada como interseção dos planos
A reta é dada como interseção dos planos
Sejam
n1=(2,-1,-1) e
n2=(1,-3,2) . O vetor direção é
Para achar um ponto, seja
z=t . Da segunda equação
x=3y-2t . Substituindo na primeira:
Então
O plano é
pi:x+y+4z=4 com
n=(1,1,4) .
então há interseção. Substituindo na equação do plano:
O ponto de interseção é
(3,1,0) .
Resposta
(a) A reta corta o plano em
(5,-3,4) .
(b) A reta está contida no plano.
(c) A reta corta o plano em(3,1,0) .
(b) A reta está contida no plano.
(c) A reta corta o plano em