Calcule o valor de cada limite a seguir, se existir:
d)
d)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da função . Isso está relacionado ao cálculo de limites que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da regra básica de limites que envolve o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental no cálculo:
Esse limite nos diz que, quando
se aproxima de 0, o seno de
dividido por
se aproxima de 1.
Passo 3
No nosso caso, temos ao invés de . Para adaptar isso, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Assim, quando
tende a 0,
também tende a 0.
Passo 4
Reescrevendo o limite em termos de
:
Aqui, substituímos
por
e ajustamos o denominador de acordo.
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão:
Fatoramos o
para facilitar o cálculo.
Passo 6
Sabemos pelo limite fundamental que:
Portanto, substituindo isso na expressão:
Resposta
Então, o limite é igual a
.