Calcule o valor de cada limite a seguir, se existir:
d) lim x 0 sen 5 x2 x

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da função . Isso está relacionado ao cálculo de limites que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da regra básica de limites que envolve o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental no cálculo:
Esse limite nos diz que, quando limx 0 sen xx = 1 se aproxima de 0, o seno de dividido por se aproxima de 1.

Passo 3

No nosso caso, temos ao invés de . Para adaptar isso, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar . Assim, quando tende a 0, também tende a 0.

Passo 4

Reescrevendo o limite em termos de limx 0 sen 5x2x = limu 0 sen u25u :
Aqui, substituímos por e ajustamos o denominador de acordo.

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:
Fatoramos o limu 0 sen u25u = limu 0 5 sen u2u = 52 limu 0 sen uu para facilitar o cálculo.

Passo 6

Sabemos pelo limite fundamental que:
Portanto, substituindo isso na expressão:

Resposta

52 times 1 = 52
Então, o limite é igual a .

Exercícios relacionados