Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = 1 / (x^2 + 25)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e algumas manobras algébricas para chegar numa forma que a gente conheça e consiga expandir em série.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a função de um jeito que pareça mais com a série geométrica, que é . Para isso, vamos manipular :

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a série geométrica pode ser expandida como quando . Nossa função ficou parecida, mas com um sinal positivo no denominador. Para ajustar isso, podemos escrever:

Passo 4

Simplificando a expressão da série, temos:
E lembrando que multiplicamos por no começo, então a série completa fica:

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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