Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e algumas manobras algébricas para chegar numa forma que a gente conheça e consiga expandir em série.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a função de um jeito que pareça mais com a série geométrica, que é . Para isso, vamos manipular :
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a série geométrica pode ser expandida como quando . Nossa função ficou parecida, mas com um sinal positivo no denominador. Para ajustar isso, podemos escrever:
Passo 4
Simplificando a expressão da série, temos:
E lembrando que multiplicamos por no começo, então a série completa fica:
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Resposta
A representação em série de potências para a função é: