Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma representação em série de potências para a função dada por:
Isso envolve trabalhar com séries de potências, que são expressões da forma:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de potências da função
e saber como integrar termo a termo uma série.
Passo 2
Vamos começar encontrando a série de potências para
. Sabemos que:
Essa série converge para
. Agora, vamos usar essa expressão para substituir na nossa função
.
Passo 3
Substituindo a série de
na função
, temos:
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo. Primeiro, integramos
:
Depois, integramos a série:
Passo 5
Juntando tudo, a representação em série de potências para
fica:
Podemos reescrever isso mais elegantemente:
Passo 6
Para determinar o intervalo de convergência, observamos que a série de
converge para
. Como manipulamos essa série sem alterar o raio de convergência, o intervalo de convergência para a série de
também é:
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência é: