Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=integral x-arctg xx^3 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma representação em série de potências para a função dada por:
f(x) = integral x - arctan xx^3 , dx
Isso envolve trabalhar com séries de potências, que são expressões da forma:
sumn=0^infty an x^n
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de potências da função arctan x e saber como integrar termo a termo uma série.

Passo 2

Vamos começar encontrando a série de potências para arctan x. Sabemos que:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n + 1
Essa série converge para |x| <= 1. Agora, vamos usar essa expressão para substituir na nossa função f(x).

Passo 3

Substituindo a série de arctan x na função f(x), temos:
f(x) = integral x - ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n + 1 )x^3 , dx
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por x^3:
f(x) = integral ( xx^3 - sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n + 1) x^3 ) , dx = integral ( x^-2 - sumn=0^infty (-1)^n x^2n -22n + 1 ) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo. Primeiro, integramos x^-2:
integral x^-2 , dx = -x^-1 + C
Depois, integramos a série:
integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n -22n + 1 , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 integral x^2n -2 , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n -1(2n + 1)(2n -1)

Passo 5

Juntando tudo, a representação em série de potências para f(x) fica:
f(x) = -x^-1 - sumn=0^infty (-1)^n x^2n -1(2n + 1)(2n -1) + C
Podemos reescrever isso mais elegantemente:
f(x) = -1x - sumn=0^infty (-1)^n x^2n -1(2n + 1)(2n -1) + C

Passo 6

Para determinar o intervalo de convergência, observamos que a série de arctan x converge para |x| <= 1. Como manipulamos essa série sem alterar o raio de convergência, o intervalo de convergência para a série de f(x) também é:
|x| <= 1

Resposta

A representação em série de potências para a função f(x) é:
f(x) = -1x - sumn=0^infty (-1)^n x^2n -1(2n + 1)(2n -1) + C
E o intervalo de convergência é:
|x| <= 1

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