Calcule o valor de cada um dos seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{ccc}3 & -7 & 2 \\\\ 4 & 1 & -1 \\\\ -2 & 2 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -7 & 2\\\\ 4 & 1 & -1\\\\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o determinante de uma matriz 3\times3, e vamos usar a regra de Sarrus para calcular de forma direta.

Passo 2

A regra de Sarrus diz que, para
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
temos
\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).

Passo 3

Identificando os termos em A:
a_{11}=3, a_{12}=-7, a_{13}=2,
a_{21}=4, a_{22}=1, a_{23}=-1,
a_{31}=-2, a_{32}=2, a_{33}=3.
Calculamos cada soma:
\begin{aligned} \text{principais} &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}\\\ &= 3\cdot1\cdot3 + (-7)\cdot(-1)\cdot(-2) + 2\cdot4\cdot2\\\ &= 9 + (-14) + 16 = 11,\\\ \text{secundárias} &= a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\\\ &= 2\cdot1\cdot(-2) + 3\cdot(-1)\cdot2 + (-7)\cdot4\cdot3\\\ &= -4 + (-6) + (-84) = -94. \end{aligned}á

Passo 4

Aplicando a fórmula de Sarrus:
\det(A) = (\text{principais}) - (\text{secundárias}) = 11 - (-94) = 105.á

Resposta

105

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