Resolva, em R, a equação \left|\begin{array}{cc}x & 3 \\\ x+1 & x-1\end{array}\right|=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação em que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} x & 3 \\\ x+1 & x-1 \end{pmatrix}
vale 2. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 2\times 2 e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Para uma matriz
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det(A)=ad - bc.
Aplicando em
\displaystyle a=x,\;b=3,\;c=x+1,\;d=x-1,
temos
\det = x\,(x-1) \;-\; 3\,(x+1) \;=\; x^2 - x -3x -3 \;=\; x^2 -4x -3.

Passo 3

A equação pedida é
\det = 2,
ou seja
x^2 -4x -3 = 2.
Passando 2 para o lado esquerdo, obtemos a equação quadrática
x^2 -4x -5 = 0.

Passo 4

Para resolver
\displaystyle x^2 -4x -5 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36.
Logo as raízes são
x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2},
isto é
x_1 = \frac{4+6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4-6}{2} = -1.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são
x = 5 \quad\text{e}\quad x = -1.

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