Qual o valor de cada um dos determinantes abaixo?
\left|\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\\ a & -1 & -a \\\ a^{2} & 1 & a\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\\ a & -1 & -a\\\ a^2 & 1 & a \end{pmatrix}
Aqui o conteúdo é propriedades de determinante 3\times 3. Vamos usar a expansão de Laplace pela primeira linha.

Passo 2

Expandindo pelo elemento da primeira linha, escrevemos
D = a \begin{vmatrix} -1 & -a\\\\ 1 & a \end{vmatrix} \;-\;1 \begin{vmatrix} a & -a\\\ a^2 & a \end{vmatrix} \;+\;1 \begin{vmatrix} a & -1\\\ a^2 & 1 \end{vmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos cada determinante 2\times 2:
Para \displaystyle\begin{vmatrix}-1 & -a\\\ 1 & a\end{vmatrix} =(-1)\cdot a-(-a)\cdot1=-a+a=0.
Para \displaystyle\begin{vmatrix}a & -a\a^2 & a\end{vmatrix} =a\cdot a-(-a)\cdot a^2=a^2+a^3=a^2(1+a).
Para \displaystyle\begin{vmatrix}a & -1\a^2 & 1\end{vmatrix} =a\cdot1-(-1)\cdot a^2=a+a^2=a(1+a).

Passo 4

Substituindo em D e simplificando:
D = a\cdot0 \;-\;1\cdot a^2(1+a)\;+\;1\cdot a(1+a) =-a^2(1+a)+a(1+a).
Fatorando 1+a e a obtemos
D = a\,(1+a)\bigl(1 - a\bigr) = a\,(1 - a^2).

Resposta

a\,(1 - a^2).

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