Qual o valor de cada um dos determinantes abaixo? \left|\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\\ a & -1 & -a \\\ a^{2} & 1 & a\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\\ a & -1 & -a\\\ a^2 & 1 & a \end{pmatrix}
Aqui o conteúdo é propriedades de determinante 3\times 3. Vamos usar a expansão de Laplace pela primeira linha.
Passo 2
Expandindo pelo elemento da primeira linha, escrevemos
D = a \begin{vmatrix} -1 & -a\\\\ 1 & a \end{vmatrix} \;-\;1 \begin{vmatrix} a & -a\\\ a^2 & a \end{vmatrix} \;+\;1 \begin{vmatrix} a & -1\\\ a^2 & 1 \end{vmatrix}.
Passo 3
Agora calculamos cada determinante 2\times 2:
Para \displaystyle\begin{vmatrix}-1 & -a\\\ 1 & a\end{vmatrix}
=(-1)\cdot a-(-a)\cdot1=-a+a=0.
Para \displaystyle\begin{vmatrix}a & -a\a^2 & a\end{vmatrix}
=a\cdot a-(-a)\cdot a^2=a^2+a^3=a^2(1+a).
Para \displaystyle\begin{vmatrix}a & -1\a^2 & 1\end{vmatrix}
=a\cdot1-(-1)\cdot a^2=a+a^2=a(1+a).
Passo 4
Substituindo em D e simplificando:
D = a\cdot0 \;-\;1\cdot a^2(1+a)\;+\;1\cdot a(1+a) =-a^2(1+a)+a(1+a).