Resolva, em \mathbb{R}, a desigualdade \frac{\left|\begin{array}{cc}\mathbf{x} & -3 \\\\ -3 & \mathbf{x}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\mathbf{x} & 1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right|} \geqslant\left|\begin{array}{cc}2 \mathbf{x} & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva em \mathbb{R} a desigualdade
\frac{\left|\begin{array}{cc}x & -3 \\[6pt] -3 & x\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}x & 1 \\[3pt] 3 & 1\end{array}\right|} \ge \left|\begin{array}{cc}2x & 3 \\[3pt] -2 & 5\end{array}\right|.
Para isso vamos usar:
1. cálculo de determinantes;
2. simplificação de expressão racional (observando o domínio);
3. resolução de desigualdade com valor absoluto.]

Passo 2

Calcular o determinante do numerador:
\left|\begin{array}{cc}x & -3 \\[3pt] -3 & x\end{array}\right| = x\cdot x - (-3)\cdot(-3) = x^{2} - 9.
Calcular o determinante do denominador:
\left|\begin{array}{cc}x & 1 \\[3pt] 3 & 1\end{array}\right| = x\cdot1 - 1\cdot3 = x - 3.
Então o lado esquerdo vale
\frac{x^{2}-9}{\,x-3\,},
com a ressalva de que x\neq3.]

Passo 3

Note que x^{2}-9=(x-3)(x+3). Para x\neq3 temos
\frac{x^{2}-9}{x-3}=x+3.
Logo a desigualdade original equivale a
x+3 \ge \left|\begin{array}{cc}2x & 3 \\[3pt] -2 & 5\end{array}\right|, \quad x\neq3.]

Passo 4

Calcular o determinante do lado direito:
\left|\begin{array}{cc}2x & 3 \\[3pt] -2 & 5\end{array}\right| =2x\cdot5 - 3\cdot(-2) =10x + 6.
Então a desigualdade fica
x+3 \ge \bigl|\,10x+6\,\bigr|.]

Passo 5

Para resolver x+3 \ge |10x+6|, consideramos dois casos:
Caso 1: 10x+6 \ge 0 (isto é, x \ge -\tfrac{3}{5}).
Nesse caso |10x+6|=10x+6 e
x+3 \ge 10x+6 \;\Longrightarrow\; x+3 -10x -6 \ge 0 \;\Longrightarrow\; -9x -3 \ge 0 \;\Longrightarrow\; 9x +3 \le 0 \;\Longrightarrow\; x \le -\tfrac{1}{3}.
Combinando com x\ge -\tfrac{3}{5}, obtemos
-\tfrac{3}{5} \,\le x \le -\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Caso 2: 10x+6 < 0 (isto é, x < -\tfrac{3}{5}).
Nesse caso |10x+6|=-(10x+6)=-10x-6 e
x+3 \ge -10x-6 \;\Longrightarrow\; x+3 +10x +6 \ge 0 \;\Longrightarrow\; 11x +9 \ge 0 \;\Longrightarrow\; x \ge -\tfrac{9}{11}.
Combinando com x < -\tfrac{3}{5}, obtemos
-\tfrac{9}{11} \,\le x < -\tfrac{3}{5}.

Passo 7

Juntando os dois casos, a solução é
-\tfrac{9}{11} \,\le x \le -\tfrac{1}{3}.
O valor x=3 já estava excluído do domínio, mas não aparece nesse intervalo.

Resposta

\displaystyle x\in\Bigl[-\tfrac{9}{11},-\tfrac{1}{3}\Bigr]

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