Calcule o valor de k para que cada sistema abaixo seja possível indeterminado.
b) lx-y-z=0 x-2 y-2 z=0 2 x+k y+z=0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa descobrir o valor de k para que esse sistema seja indeterminado, ou seja, tenha infinitas soluções. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema de equações que a gente tem:
x - y - z = 0 x - 2y - 2z = 0 2x + k y + z = 0
Queremos que esse sistema tenha infinitas soluções, o que significa que as equações são dependentes entre si.

Passo 3

Para que o sistema seja indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser igual a zero. Vamos montar essa matriz:
1 & -1 & -1 1 & -2 & -2 2 & k & 1
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Det = 1 cdot (-2 cdot 1 - (-2) cdot k) - (-1) cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 2) + (-1) cdot (1 cdot k - (-2) cdot 2)
Simplificando cada parte:
Det = 1 cdot (-2 + 2k) + 1 cdot (1 + 4) -1 cdot (k + 4)
Det = (-2 + 2k) + 5 - (k + 4)
Det = -2 + 2k + 5 - k - 4
Det = (2k - k) + (-2 + 5 - 4)
Det = k -1

Passo 4

Para que o sistema seja indeterminado, o determinante deve ser zero:
k - 1 = 0
Resolvendo para k :
k = 1

Resposta

O valor de k que torna o sistema indeterminado é k = 1 .

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