Exercício 6. Estabeleça condições sobre a, b e c para que cada sistema abaixo seja possível indeterminado
lx-2 y-z=a 2 x+y+3 z=b 4 x-3 y+z=c

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em três incógnitas
x - 2y - z = a, 2x + y + 3z = b, 4x - 3y + z = c,
e quer que ele seja possível indeterminado (infinitas soluções). O tema é Álgebra Linear: condições de existência de infinitas soluções usando posto da matriz de coeficientes e matriz aumentada.

Passo 2

Vamos montar a matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & -1 2 & 1 & 3 4 & -3 & 1
e calcular seu determinante. Se det(A)=0, então o posto de A é menor que 3, e poderemos ter ou nenhuma solução ou infinitas.

Passo 3

Calculando o determinante:
det(A) =1cdot1&3-3&1 -(-2)cdot2&34&1 +(-1)cdot2&14&-3
Isso dá
det(A) =1,(1cdot1 - 3cdot(-3)) +2,(2cdot1 - 3cdot4) -1,(2cdot(-3) - 1cdot4) =1,(1+9)+2,(2-12)-1,(-6-4) =10 -20 +10 = 0
Logo, para todo a,b,c, det(A)=0 e o sistema é singular.

Passo 4

Para ter infinitas soluções (e não nenhum), o sistema deve ser consistente, isto é, o posto da matriz aumentada deve ser igual ao posto de A. Como posto(A)<3, queremos posto(A)=posto([Amidb]). Uma forma prática é achar a combinação linear entre as três equações que zera os coeficientes de x,y,z e impor que zere também os termos constantes.
Procuramos alpha,beta,gamma tais que
alpha,(1,-2,-1) +beta,(2,1,3) +gamma,(4,-3,1) =(0,0,0)
Resolvendo esse sistema obtemos, por exemplo, alpha=-2, beta=-1, gamma=1. Isso significa
-2cdot(eq1);-;1cdot(eq2);+;1cdot(eq3)=0cdot x+0cdot y+0cdot z
Aplicando aos termos independentes, fica
-2,a;-;1,b;+;1,c ;=;0 Longrightarrow c - 2a - b = 0

Resposta

A condição para o sistema ser possível indeterminado é
c = 2a + b

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