Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas.
sumn=1^infty ln (n2 n+5).

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty ln!l(tfracn2n+5r)
usando testes de séries numéricas. Vamos lembrar o teste mais básico: se uma série de termos an converge, então limntoinftyan=0. Se esse limite não for zero, a série diverge imediatamente.

Passo 2

Calculemos o limite do termo geral:
limntoinftyln!l(tfracn2n+5r) =ln!l(limntoinftytfracn2n+5r) =ln!l(tfrac12r) =-ln 2
Como -ln 2neq0, o termo geral não tende a zero.

Passo 3

Pelo teste da divergência (ou teste do termo geral), se limntoinftyanneq0 então a série sum an diverge. Aqui an=lnl(tfracn2n+5r) não se anula no infinito, logo a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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