Calcule o valor de d Id t em t=0 a partir de I=I0 e^-R tL=I0 e^-ttau e mostre que se a corrente continuasse a diminuir com a mesma rapidez, chegaria a zero após uma constante de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação para a corrente I = I0 e^-R tL = I0 e^-ttau que depende do tempo :
Aqui, é a corrente inicial, é a resistência, é a indutância, e é a constante de tempo. Nosso objetivo é calcular a taxa de variação da corrente em relação ao tempo ( ) no instante inicial ( ) e mostrar que, se a corrente continuar diminuindo na mesma velocidade, ela chegará a zero após uma constante de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de I = I0 e^-ttau em relação a ddt ( e^kt ) = k e^kt . A equação é:
dIdt = I0 cdot -1tau e^-ttau = -I0tau e^-ttau
Para encontrar , usamos a regra da derivada para exponenciais. Sabemos que:
No nosso caso, . Então, aplicando a regra:

Passo 3

Agora, queremos saber o valor de dIdt|t=0 = -I0tau e^0tau = -I0tau cdot 1 = -I0tau quando . Substituímos na equação que acabamos de encontrar:
Então, a taxa de variação da corrente no instante inicial é .

Passo 4

Agora, vamos entender o que isso significa. A constante de tempo De representa o tempo que a corrente leva para diminuir de uma certa forma. Se a corrente continua diminuindo na mesma taxa , podemos estimar quando ela chega a zero.
Como a taxa de variação é constante, a corrente diminui linearmente. Assim, o tempo necessário para a corrente atingir zero seria:
Isso mostra que a corrente chega a zero após um tempo igual à constante de tempo .

Resposta

A derivada da corrente em é . Além disso, se a corrente continuar diminuindo com essa mesma rapidez, ela alcançará zero após um tempo igual à constante de tempo .

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