Em uma onda eletromagnética plana (que pode ser, por exemplo, uma onda luminosa), os campos elétricos e magnéticos respeitam à equação E=c B, sendo c=1raizepsilon0 mu0 é a velocidade da luz. Mostre que nesse caso as densidades de energia elétrica e magnética são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma onda eletromagnética plana, como a luz, onde os campos elétrico (E) e magnético (B) obedecem à relação . Aqui, é a velocidade da luz. Nosso objetivo é mostrar que, nessa situação, as densidades de energia elétrica e magnética são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as densidades de energia desses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a densidade de energia de um campo elétrico. A densidade de energia elétrica ( uE = 12 epsilon0 E^2 ) é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo e é a intensidade do campo elétrico.

Passo 3

Agora, vamos ver a densidade de energia magnética ( uB = 12 B^2mu0 ). Ela é calculada por:
Onde é a permeabilidade do vácuo e é a intensidade do campo magnético.

Passo 4

Sabemos que, na onda eletromagnética dada, os campos elétrico e magnético estão relacionados por uE = 12 epsilon0 (cB)^2 = 12 epsilon0 c^2 B^2 . Vamos substituir por na expressão da densidade de energia elétrica:

Passo 5

Agora, vamos expressar c = 1raizepsilon0 mu0 implies c^2 = 1epsilon0 mu0 em termos de uE = 12 epsilon0 ( 1epsilon0 mu0 ) B^2 = 12 mu0 B^2 e :
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Comparando com a expressão da densidade de energia magnética:
uB = 12 B^2mu0
Percebemos que:
uE = uB

Resposta

Assim, mostramos que as densidades de energia elétrica e magnética são iguais, ou seja, .

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