Calcule o valor do determinante da matriz
A=[rrrrc 1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 2 & 10 & -10 & -2 & -8 1 & 1 & 0 & -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 5x5 chamada A . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo de determinantes, como a regra de Sarrus para matrizes menores ou a expansão por cofatores para matrizes maiores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes maiores que 3x3, calcular o determinante diretamente pode ser trabalhoso, então a gente pode simplificar usando operações de linha para transformar a matriz em uma matriz triangular, onde todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero.

Passo 3

Olhando para a matriz A :
A = 1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 2 & 10 & -10 & -2 & -8 1 & 1 & 0 & -1 & 2
Percebo que já temos alguns zeros na primeira coluna. Isso é ótimo porque facilita as operações de linha. Vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.

Passo 4

Vamos eliminar o 2 e o 1 abaixo do 1 da primeira coluna. Para isso, fazemos o seguinte:
  • Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 1
Linha 4 &= [2, 10, -10, -2, -8] - 2 times [1, 2, 3, -4, 2] &= [2 - 2, 10 - 4, -10 - 6, -2 - (-8), -8 - 4] &= [0, 6, -16, 6, -12]
  • Linha 5 = Linha 5 - 1 * Linha 1
Linha 5 &= [1, 1, 0, -1, 2] - [1, 2, 3, -4, 2] &= [0, -1, -3, 3, 0]
Agora a matriz fica assim:
1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 0 & 6 & -16 & 6 & -12 0 & -1 & -3 & 3 & 0

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna para eliminar os elementos abaixo e acima do 1 na segunda linha.
  • Linha 3 = Linha 3 - 4 * Linha 2
Linha 3 &= [0, 4, 0, 2, 1] - 4 times [0, 1, 1, 1, 0] &= [0, 0, -4, -2, 1]
  • Linha 4 = Linha 4 - 6 * Linha 2
Linha 4 &= [0, 6, -16, 6, -12] - 6 times [0, 1, 1, 1, 0] &= [0, 0, -22, 0, -12]
  • Linha 5 = Linha 5 + 1 * Linha 2
Linha 5 &= [0, -1, -3, 3, 0] + [0, 1, 1, 1, 0] &= [0, 0, -2, 4, 0]
A matriz agora está assim:
1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & -2 & 1 0 & 0 & -22 & 0 & -12 0 & 0 & -2 & 4 & 0

Passo 6

Vamos continuar transformando a matriz. Agora, vamos trabalhar na terceira coluna para tornar os elementos abaixo do elemento -4 iguais a zero.
  • Linha 4 = Linha 4 - ( (-22)/(-4) ) * Linha 3 = Linha 4 - 5.5 * Linha 3
Linha 4 &= [0, 0, -22, 0, -12] - 5.5 times [0, 0, -4, -2, 1] &= [0, 0, -22 + 22, 0 + 11, -12 - 5.5] &= [0, 0, 0, 11, -17.5]
  • Linha 5 = Linha 5 - ( (-2)/(-4) ) * Linha 3 = Linha 5 - 0.5 * Linha 3
Linha 5 &= [0, 0, -2, 4, 0] - 0.5 times [0, 0, -4, -2, 1] &= [0, 0, -2 + 2, 4 + 1, 0 - 0.5] &= [0, 0, 0, 5, -0.5]
A matriz agora fica:
1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 11 & -17.5 0 & 0 & 0 & 5 & -0.5

Passo 7

Agora, vamos trabalhar na quarta coluna para eliminar o elemento abaixo de 11 na quarta linha.
  • Linha 5 = Linha 5 - (5/11) * Linha 4
Linha 5 &= [0, 0, 0, 5, -0.5] - 511 times [0, 0, 0, 11, -17.5] &= [0, 0, 0, 5 - 5, -0.5 - (-87.511)] &= [0, 0, 0, 0, -0.5 + 7.9545] &= [0, 0, 0, 0, 7.4545]
A matriz triangular fica assim:
1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 11 & -17.5 0 & 0 & 0 & 0 & 7.4545

Passo 8

Agora que a matriz está triangular superior, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja:
det(A) = 1 times 1 times (-4) times 11 times 7.4545
Vamos calcular:
1 times 1 = 1 1 times (-4) = -4 -4 times 11 = -44 -44 times 7.4545 approx -328

Resposta

O valor do determinante da matriz A é aproximadamente -328.

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