Sendo
A=[lll a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ]
e det(A)=-4, encontre o valor do determinante da matriz
B=[ccc 3 b1+6 c1 & 3 b2+6 c2 & 3 b3+6 c3 -c1 & -c2 & -c3 a1 & a2 & a3 ]
Justifique cada passo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre determinantes de matrizes. A gente tem a matriz A e sabe que o seu determinante é -4. O que precisamos é encontrar o determinante da matriz B , que é uma versão modificada da matriz A . Para isso, vamos usar propriedades dos determinantes, como a linearidade em linhas e operações com linhas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como a primeira linha da matriz B está relacionada com as linhas da matriz A . Observamos que cada elemento da primeira linha de B é uma combinação linear das linhas b e c de A . Especificamente, temos:
Primeira linha de B = 3 times linha b + 6 times linha c
Isso significa que podemos expressar a primeira linha de B como uma combinação linear das linhas de A .

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade de linearidade do determinante em relação a uma linha. Essa propriedade diz que se uma linha de uma matriz é uma combinação linear de linhas de outra matriz, o determinante da nova matriz pode ser expresso como a mesma combinação linear dos determinantes das matrizes originais.
Aplicando isso à primeira linha de B :
det(B) = 3 times det[ccc b1 & b2 & b3 -c1 & -c2 & -c3 a1 & a2 & a3 ] + 6 times det[ccc c1 & c2 & c3 -c1 & -c2 & -c3 a1 & a2 & a3 ]
Isso separa o determinante de B em duas partes que podemos calcular separadamente.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses determinantes separadamente.
Primeiro, para o termo com 3 :
det[ccc b1 & b2 & b3 -c1 & -c2 & -c3 a1 & a2 & a3 ]
Note que a segunda linha é o negativo da linha c da matriz A . Mudando o sinal da linha, o determinante fica:
det[ccc b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 a1 & a2 & a3 ] = det(A) = -4
Agora, para o termo com 6 :
det[ccc c1 & c2 & c3 -c1 & -c2 & -c3 a1 & a2 & a3 ]
Aqui, vemos que a primeira e a segunda linha são múltiplos umas das outras (a segunda linha é -1 vezes a primeira). Quando duas linhas de uma matriz são proporcionais, o determinante dessa matriz é zero.

Passo 5

Agora, substituímos os valores calculados de volta na expressão original para det(B) :
det(B) = 3 times (-4) + 6 times 0 = -12 + 0 = -12

Resposta

O determinante da matriz B é -12.

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