a) Determine a inversa de A, se esta existir. Se não existir, justifique.
b) Calcule o conjunto-solução do sistema linear abaixo
l x+2 y-z=1 2 x+3 y+z=4 2 x+2 y+6 z=2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve matrizes e sistemas lineares, que fazem parte da álgebra linear. Na primeira parte, preciso descobrir se a matriz A tem uma inversa e, se tiver, encontrar essa inversa. Na segunda parte, vou resolver um sistema de equações lineares que está relacionado com a matriz A . Para isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, matrizes inversas e resolver sistemas lineares usando métodos como a substituição ou a eliminação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz A é invertível. Para uma matriz quadrada ser invertível, o determinante dela precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A .
A matriz A é:
A = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 2 & 2 & 6
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus:
det(A) = 1 times 3 times 6 + 2 times 1 times 2 + (-1) times 2 times 2 - (-1) times 3 times 2 - 2 times 1 times 2 - 1 times 2 times 6
Calculando cada termo:
det(A) = (1 times 3 times 6) + (2 times 1 times 2) + (-1 times 2 times 2) - ((-1) times 3 times 2) - (2 times 1 times 2) - (1 times 2 times 6)
det(A) = 18 + 4 - 4 + 6 - 4 - 12 = 8
Como o determinante de A é 8, que é diferente de zero, a matriz A é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que A é invertível, vamos encontrar a inversa A^-1 . Para uma matriz 3x3, a inversa pode ser encontrada usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Vamos calcular a matriz dos cofatores:
Primeiro, encontramos os menores de cada elemento:
C11 = det 3 & 1 2 & 6 = (3 times 6) - (1 times 2) = 18 - 2 = 16