Considere a matriz
A=[rrr 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 2 & 2 & 6 ]
a) Determine a inversa de A, se esta existir. Se não existir, justifique.
b) Calcule o conjunto-solução do sistema linear abaixo
l x+2 y-z=1 2 x+3 y+z=4 2 x+2 y+6 z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve matrizes e sistemas lineares, que fazem parte da álgebra linear. Na primeira parte, preciso descobrir se a matriz A tem uma inversa e, se tiver, encontrar essa inversa. Na segunda parte, vou resolver um sistema de equações lineares que está relacionado com a matriz A . Para isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, matrizes inversas e resolver sistemas lineares usando métodos como a substituição ou a eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A é invertível. Para uma matriz quadrada ser invertível, o determinante dela precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A .
A matriz A é:
A = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 2 & 2 & 6
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus:
det(A) = 1 times 3 times 6 + 2 times 1 times 2 + (-1) times 2 times 2 - (-1) times 3 times 2 - 2 times 1 times 2 - 1 times 2 times 6
Calculando cada termo:
det(A) = (1 times 3 times 6) + (2 times 1 times 2) + (-1 times 2 times 2) - ((-1) times 3 times 2) - (2 times 1 times 2) - (1 times 2 times 6)
det(A) = 18 + 4 - 4 + 6 - 4 - 12 = 8
Como o determinante de A é 8, que é diferente de zero, a matriz A é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que A é invertível, vamos encontrar a inversa A^-1 . Para uma matriz 3x3, a inversa pode ser encontrada usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Vamos calcular a matriz dos cofatores:
Primeiro, encontramos os menores de cada elemento:
  • C11 = det 3 & 1 2 & 6 = (3 times 6) - (1 times 2) = 18 - 2 = 16
  • C12 = -det 2 & 1 2 & 6 = -( (2 times 6) - (1 times 2)) = -(12 - 2) = -10
  • C13 = det 2 & 3 2 & 2 = (2 times 2) - (3 times 2) = 4 - 6 = -2
  • C21 = -det 2 & -1 2 & 6 = -( (2 times 6) - (-1 times 2)) = -(12 + 2) = -14
  • C22 = det 1 & -1 2 & 6 = (1 times 6) - (-1 times 2) = 6 + 2 = 8
  • C23 = -det 1 & 2 2 & 2 = -( (1 times 2) - (2 times 2)) = -(2 - 4) = 2
  • C31 = det 2 & -1 3 & 1 = (2 times 1) - (-1 times 3) = 2 + 3 = 5
  • C32 = -det 1 & -1 2 & 1 = -( (1 times 1) - (-1 times 2)) = -(1 + 2) = -3
  • C33 = det 1 & 2 2 & 3 = (1 times 3) - (2 times 2) = 3 - 4 = -1
Agora, a matriz dos cofatores C é:
C = 16 & -10 & -2 -14 & 8 & 2 5 & -3 & -1
A adjunta adj(A) é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = C^T = 16 & -14 & 5 -10 & 8 & -3 -2 & 2 & -1
Agora, podemos encontrar a inversa A^-1 :
A^-1 = 18 times 16 & -14 & 5 -10 & 8 & -3 -2 & 2 & -1 = 2 & -148 & 58 -108 & 1 & -38 -28 & 28 & -18
Simplificando as frações:
A^-1 = 2 & -74 & 58 -54 & 1 & -38 -14 & 14 & -18

Passo 4

Agora, vamos para a parte b) do exercício, que é resolver o sistema linear:
x + 2y - z = 1 2x + 3y + z = 4 2x + 2y + 6z = 2
Uma maneira de resolver esse sistema é representá-lo na forma matricial Ax = b , onde:
A = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 2 & 2 & 6 , x = x y z , b = 1 4 2
Como já encontramos A^-1 , podemos multiplicar ambos os lados da equação por A^-1 para isolar x :
x = A^-1 b
Vamos calcular A^-1 b :
Primeiro, temos:
A^-1 = 2 & -74 & 58 -54 & 1 & -38 -14 & 14 & -18 , b = 1 4 2
Multiplicando:
x = 2 times 1 + (-74) times 4 + 58 times 2 -54 times 1 + 1 times 4 + (-38) times 2 -14 times 1 + 14 times 4 + (-18) times 2
Calculando cada componente:
  1. Para x :
2 times 1 = 2 -74 times 4 = -7 58 times 2 = 108 = 54 Rightarrow 2 - 7 + 54 = -5 + 54 = -204 + 54 = -154
  1. Para y :
-54 times 1 = -54 1 times 4 = 4 -38 times 2 = -68 = -34 Rightarrow -54 + 4 - 34 = (-54 - 34) + 4 = -2 + 4 = 2
  1. Para z :
-14 times 1 = -14 14 times 4 = 1 -18 times 2 = -28 = -14 Rightarrow -14 + 1 - 14 = (-14 - 14) + 1 = -12 + 1 = 12

Resposta

a) A inversa de A é
A^-1 = 2 & -dfrac74 & dfrac58 -dfrac54 & 1 & -dfrac38 -dfrac14 & dfrac14 & -dfrac18
b) O conjunto-solução do sistema linear é x = -dfrac154 , y = 2 e z = dfrac12 .

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