O enunciado pede a diagonalização por matriz ortogonal de cada uma das matrizes simétricas A listadas em (a)–(h). Como toda matriz real simétrica tem autovalores reais e autovetores ortogonais, vamos em cada caso: 1. Calcular o polinômio característico de A para achar os autovalores. 2. Para cada autovalor lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para obter os autovetores. 3. Ortonormalizar o conjunto de autovetores e montar P cujas colunas são esses vetores normalizados; então P^TAP=D diagonal.
Passo 2
Diagonalização de matrizes 2times2 em (a) e (b).
(a) A=2&22&2bul<=ttr A=4, det A=0;Rightarrow;autovalores lambda1=4,;lambda2=0. bul<=t Para lambda1=4: (A-4I)v=0 dá vpropto(1,1).
Normalizado: u1=tfrac1raiz2(1,1). bul<=t Para lambda2=0: Av=0 dá vpropto(1,-1).
Normalizado: u2=tfrac1raiz2(1,-1).
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O polinômio é lambda(lambda-1)(lambda+1)=0;Rightarrow;autovalores -1,0,1. bul<=t lambda=1: vpropto(1,0,1), normalizado u1=tfrac1raiz2(1,0,1). bul<=t lambda=-1: vpropto(1,0,-1), normalizado u2=tfrac1raiz2(1,0,-1). bul<=t lambda=0: vpropto(0,1,0), já unitário u3=(0,1,0).
Pc=l[u1;u2;u3r], Dc=diag(1,-1,0)
Passo 4
Blocos 2times2 mais um valor isolado em (d) e (e).
(d)
D=1&2&02&1&00&0&3
separa bloco A1=1&22&1 com autovalores 3,-1 e vetor isolado 3.
Do bloco: vetores (1,1) e (1,-1), normalizados tfrac1raiz2(1,1), tfrac1raiz2(1,-1).
Juntando com e3:
é isomorfo a diag(0,;A2) com A2=2&22&2, que tem autovalores 4,0.
Do bloco: vetores (1,1) e (1,-1), normalizados tfrac1raiz2(1,1), tfrac1raiz2(1,-1). E o vetor isolado (1,0,0).