Diagonalize cada matriz simétrica dada por meio de uma matriz ortogonal P.
(a) [ll2 & 2 2 & 2]
(b) [ll2 & 1 1 & 2]
(c) [lll0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0]
(d) [lll1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3]
(e) [lll0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 0 & 2 & 2]
(f) [llll1 & 2 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 2]
(g) [ccc2 & 1 & 1 1 & 2 & -1 1 & -1 & 2]
(h) [ccc1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1].

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização por matriz ortogonal de cada uma das matrizes simétricas A listadas em (a)–(h). Como toda matriz real simétrica tem autovalores reais e autovetores ortogonais, vamos em cada caso:
1. Calcular o polinômio característico de A para achar os autovalores.
2. Para cada autovalor lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para obter os autovetores.
3. Ortonormalizar o conjunto de autovetores e montar P cujas colunas são esses vetores normalizados; então P^TAP=D diagonal.

Passo 2

Diagonalização de matrizes 2times2 em (a) e (b).
(a) A=2&22&2 bul<=t tr A=4, det A=0; Rightarrow;autovalores lambda1=4,;lambda2=0.
bul<=t Para lambda1=4: (A-4I)v=0 vpropto(1,1).
Normalizado: u1=tfrac1raiz2(1,1).
bul<=t Para lambda2=0: Av=0 vpropto(1,-1).
Normalizado: u2=tfrac1raiz2(1,-1).
Logo
Pa=tfrac1raiz2&tfrac1raiz2[4pt]tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2, Da=4&00&0
(b) B=2&11&2 bul<=t tr B=4, det B=3; Rightarrow;autovalores resolvendo lambda^2-4lambda+3=0: lambda1=3,;lambda2=1.
bul<=t Para lambda1=3: vpropto(1,1), normalizado u1=tfrac1raiz2(1,1).
bul<=t Para lambda2=1: vpropto(1,-1), normalizado u2=tfrac1raiz2(1,-1).
Pb=tfrac1raiz2&tfrac1raiz2[4pt]tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2, Db=3&00&1 ]

Passo 3

Caso (c), permutação em R^3:
C=0&0&10&0&01&0&0
O polinômio é lambda(lambda-1)(lambda+1)=0; Rightarrow;autovalores -1,0,1.
bul<=t lambda=1: vpropto(1,0,1), normalizado u1=tfrac1raiz2(1,0,1).
bul<=t lambda=-1: vpropto(1,0,-1), normalizado u2=tfrac1raiz2(1,0,-1).
bul<=t lambda=0: vpropto(0,1,0), já unitário u3=(0,1,0).
Pc=l[u1;u2;u3r], Dc=diag(1,-1,0)

Passo 4

Blocos 2times2 mais um valor isolado em (d) e (e).
(d)
D=1&2&02&1&00&0&3
separa bloco A1=1&22&1 com autovalores 3,-1 e vetor isolado 3.
Do bloco: vetores (1,1) e (1,-1), normalizados tfrac1raiz2(1,1), tfrac1raiz2(1,-1).
Juntando com e3:
Pd= tfrac1raiz2&tfrac1raiz2&0[4pt] tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2&0[4pt] 0&0&1 , Dd=diag(3,-1,3)
(e)
E=0&0&00&2&20&2&2
é isomorfo a diag(0,;A2) com A2=2&22&2, que tem autovalores 4,0.
Do bloco: vetores (1,1) e (1,-1), normalizados tfrac1raiz2(1,1), tfrac1raiz2(1,-1). E o vetor isolado (1,0,0).
Pe= 1&0&0[4pt] 0&tfrac1raiz2&tfrac1raiz2[4pt] 0&tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2 , De=diag(0,4,0) ]

Passo 5

Caso (f) não é simétrico (entradas (3,4)=1 e (4,3)=2 diferem), logo não admite diagonalização ortogonal.

Passo 6

Matrizes 3times3 não-triviais em (g) e (h).
(g)
G=2&1&11&2&-11&-1&2
O polinômio dá lambda( lambda-3)^2=0, autovalores 0,3,3.
bul<=t lambda=0: resolve Gv=0; Rightarrow; vpropto(1,-1,-1), norma raiz3, u1=tfrac1raiz3(1,-1,-1).
bul<=t lambda=3: subespaco x= y+z; escolha v2=(0,1,-1), v3=(2,1,1).
Normalizados e ortonormais:
u2=tfrac1raiz2(0,1,-1),
u3=tfrac1raiz6(2,1,1).
Pg=l[u1;u2;u3r], Dg=diag(0,3,3)
(h)
H=1&4&24&-5&-42&-4&1
O característico é (lambda+9)(lambda-3)^2=0; Rightarrow; -9,3,3.
bul<=t lambda=-9: vpropto(1,-2,-1), norm raiz6, u1=tfrac1raiz6(1,-2,-1).
bul<=t lambda=3: subespaço x=2y+z; tome w2=(2,1,0), w3=(1,0,1).
Gram–Schmidt dá
u2=tfrac1raiz5(2,1,0),
u3=tfrac1raiz30(1,-2,5).
Ph=l[u1;u2;u3r], Dh=diag(-9,3,3)

Resposta

(a)
Pa=tfrac1raiz2&tfrac1raiz2[4pt]tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2, Da=4&00&0
(b)
Pb=tfrac1raiz2&tfrac1raiz2[4pt]tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2, Db=3&00&1
(c)
Pc=tfrac1raiz2&tfrac1raiz2&0[4pt]0&0&1[4pt]tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2&0, Dc=diag(1,-1,0)
(d)
Pd= tfrac1raiz2&tfrac1raiz2&0[4pt] tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2&0[4pt] 0&0&1 , Dd=diag(3,-1,3)
(e)
Pe= 1&0&0[4pt] 0&tfrac1raiz2&tfrac1raiz2[4pt] 0&tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2 , De=diag(0,4,0)
(f) não admite diagonalização ortogonal (não é simétrica).
(g)
Pg= tfrac1raiz3&0&tfrac2raiz6[4pt] -tfrac1raiz3&tfrac1raiz2&tfrac1raiz6[4pt] -tfrac1raiz3&-tfrac1raiz2&tfrac1raiz6 , Dg=diag(0,3,3)
(h)
Ph= tfrac1raiz6&tfrac2raiz5&tfrac1raiz30[4pt] -tfrac2raiz6&tfrac1raiz5&-tfrac2raiz30[4pt] -tfrac1raiz6&0&tfrac5raiz30 , Dh=diag(-9,3,3) ]

Exercícios relacionados