possui uma única solução, infinitas soluções ou não tem soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de três equações com as incógnitas x , y e z . Queremos descobrir para quais valores de a e b o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes, que nos ajudam a entender quando um sistema tem soluções únicas ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Cada linha dessa matriz corresponde aos coeficientes de x , y e z em cada equação:
A = 1 & a & -9 - a & -9 & 2 + 9a -1 & -a & 3a
Passo 3
Para saber se o sistema tem uma única solução, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
a^3 - 3a^2 - 9a + 27 = (a - 3)(a^2 + 0a - 9) = (a - 3)(a^2 - 9) = (a - 3)(a - 3)(a + 3) = (a - 3)^2(a + 3)
Então:
det(A) = 3(a - 3)^2(a + 3)
Passo 7
Agora, analisamos quando o determinante é zero:
3(a - 3)^2(a + 3) = 0
Isso acontece quando:
a - 3 = 0 ⇒ a = 3
a + 3 = 0 ⇒ a = -3
Passo 8
Então, para a neq 3 e a neq -3 , o determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma única solução.
Para a = 3 ou a = -3 , o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar os termos independentes para ver se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma.
Passo 9
Vamos analisar os casos onde [a = 3) e separadamente substituindo na matriz aumentada e verificando consistência.
Caso 1:
Substituindo nas equações:
Resolvendo esse sistema, percebemos que para existir uma solução consistente, (b] deve ser igual a 1. Caso contrário, não há solução.
Caso 2: [a = -3)
Substituindo :
Aqui, para o sistema ter infinitas soluções, , o sistema não tem solução.
Resposta
O sistema possui uma única solução para todo valor de a diferente de 3 e -3 . Quando a = 3 , o sistema tem uma única solução se b = 1 e nenhuma solução se b neq 1 . Já quando a = -3 , o sistema tem infinitas soluções se b = -1 e nenhuma solução se b neq -1 .