Encontrar os valores de a e b para os quais o sistema
c x+a y-9 z=1 -a x-9 y+(2+9 a) z=2-a -x-a y+3 a z=b
possui uma única solução, infinitas soluções ou não tem soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de três equações com as incógnitas x , y e z . Queremos descobrir para quais valores de a e b o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes, que nos ajudam a entender quando um sistema tem soluções únicas ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Cada linha dessa matriz corresponde aos coeficientes de x , y e z em cada equação:
A = 1 & a & -9 - a & -9 & 2 + 9a -1 & -a & 3a

Passo 3

Para saber se o sistema tem uma única solução, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 cdot ( (-9)(3a) - (-a)(2 + 9a) ) - a cdot ( (-a)(3a) - (-1)(2 + 9a) ) + (-9) cdot ( (-a)(-a) - (-1)(-9) )

Passo 4

Simplificando cada parte:
  1. Primeiro termo:
(-9)(3a) - (-a)(2 + 9a) = -27a + a(2 + 9a) = -27a + 2a + 9a^2 = 9a^2 - 25a
  1. Segundo termo:
(-a)(3a) - (-1)(2 + 9a) = -3a^2 + 2 + 9a = -3a^2 + 9a + 2
  1. Terceiro termo:
(-a)(-a) - (-1)(-9) = a^2 - 9

Passo 5

Agora, substituindo de volta no determinante:
det(A) = 1 cdot (9a^2 - 25a) - a cdot (-3a^2 + 9a + 2) + (-9) cdot (a^2 - 9)
Simplificando:
det(A) = 9a^2 - 25a + 3a^3 - 9a^2 - 2a - 9a^2 + 81
Agrupando termos semelhantes:
det(A) = 3a^3 - 9a^2 - 25a - 2a + 81 = 3a^3 - 9a^2 - 27a + 81

Passo 6

Vamos fatorar o determinante:
det(A) = 3(a^3 - 3a^2 - 9a + 27) = 3(a^3 - 3a^2 - 9a + 27)
Agora, vamos tentar fatorar o polinômio cúbico:
a^3 - 3a^2 - 9a + 27 = (a - 3)(a^2 + 0a - 9) = (a - 3)(a^2 - 9) = (a - 3)(a - 3)(a + 3) = (a - 3)^2(a + 3)
Então:
det(A) = 3(a - 3)^2(a + 3)

Passo 7

Agora, analisamos quando o determinante é zero:
3(a - 3)^2(a + 3) = 0
Isso acontece quando:
  1. a - 3 = 0 a = 3
  2. a + 3 = 0 a = -3

Passo 8

Então, para a neq 3 e a neq -3 , o determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma única solução.
Para a = 3 ou a = -3 , o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar os termos independentes para ver se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 9

Vamos analisar os casos onde [a = 3) e separadamente substituindo na matriz aumentada e verificando consistência.
Caso 1:
Substituindo nas equações:
Resolvendo esse sistema, percebemos que para existir uma solução consistente, (b] deve ser igual a 1. Caso contrário, não há solução.
Caso 2: [a = -3)
Substituindo :
Aqui, para o sistema ter infinitas soluções, , o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema possui uma única solução para todo valor de a diferente de 3 e -3 . Quando a = 3 , o sistema tem uma única solução se b = 1 e nenhuma solução se b neq 1 . Já quando a = -3 , o sistema tem infinitas soluções se b = -1 e nenhuma solução se b neq -1 .

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