Se u=(3,-2,5) e v=(1,0,-1), calcule o valor de 3 u-2 v e encontre seu produto interno com u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (3, -2, 5) e v = (1, 0, -1). O que precisamos fazer aqui é calcular uma combinação linear desses vetores, que é 3u - 2v, e depois encontrar o produto interno desse resultado com o próprio vetor u. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar vetores por escalares, como somá-los e como calcular o produto interno (ou produto escalar).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 3u. Isso significa multiplicar cada componente do vetor u por 3:
3u = 3 times (3, -2, 5) = (3 times 3, 3 times -2, 3 times 5) = (9, -6, 15)

Passo 3

Agora, vamos calcular -2v. Isso significa multiplicar cada componente do vetor v por -2:
-2v = -2 times (1, 0, -1) = (-2 times 1, -2 times 0, -2 times -1) = (-2, 0, 2)

Passo 4

Em seguida, vamos somar os dois vetores resultantes: 3u e -2v:
3u - 2v = (9, -6, 15) + (-2, 0, 2) = (9 + (-2), -6 + 0, 15 + 2) = (7, -6, 17)

Passo 5

Agora que temos o vetor 3u - 2v = (7, -6, 17), vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) desse vetor com o vetor u = (3, -2, 5). O produto interno de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado da seguinte forma:
a cdot b = a1 times b1 + a2 times b2 + a3 times b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
(7, -6, 17) cdot (3, -2, 5) = (7 times 3) + (-6 times -2) + (17 times 5) = 21 + 12 + 85 = 118

Resposta

O valor do produto interno é 118.

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