Encontre o ângulo entre os vetores a=(1,2,3) e b=(4,-1,2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ângulo entre os vetores a = (1, 2, 3) e b = (4, -1, 2). Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Produto Escalar e Cálculo de Ângulos entre Vetores. Precisaremos calcular o produto escalar dos vetores e as suas magnitudes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores a e b. O produto escalar é uma operação que multiplica os componentes correspondentes dos vetores e soma esses resultados. A fórmula é:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando os valores:
a cdot b = (1)(4) + (2)(-1) + (3)(2) = 4 - 2 + 6 = 8

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A magnitude de um vetor v = (v1, v2, v3) é dada por:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Para o vetor a:
|a| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 4

Vamos calcular a magnitude do vetor b da mesma forma:
|b| = raiz4^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21

Passo 5

Com o produto escalar e as magnitudes dos vetores calculados, podemos encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores usando a fórmula:
costheta = a cdot b|a| cdot |b|
Substituindo os valores:
costheta = 8raiz14 cdot raiz21 = 8raiz294 approx 817,146 approx 0,467

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno (ou inverso do cosseno):
theta = arccos(0,467) approx 62,8^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 62,8^circ.

Exercícios relacionados