Calcule o valor exato das integrais definidas:
\int_{0}^{1 / 2} \frac{2 x}{(1-x)^{7}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{1/2} \frac{2x}{(1-x)^{7}}\,dx.
Aqui vamos usar o método de substituição para transformar a parte (1-x)^{7} em potência de uma nova variável e integrar potências de u.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 - x, \qquad du = -\,dx,
os limites mudam assim: quando x=0, temos u=1; quando x=\tfrac12, temos u=\tfrac12. Além disso, x = 1 - u. Logo,
I = \int_{0}^{1/2} \frac{2x}{(1-x)^{7}}\,dx = \int_{u=1}^{u=1/2} \frac{2(1-u)}{u^{7}}\,(-du) = \int_{1/2}^{1} \frac{2(1-u)}{u^{7}}\,du.

Passo 3

Dentro da integral, separamos o numerador:
\frac{2(1-u)}{u^{7}} = 2\bigl(u^{-7} - u^{-6}\bigr).
Então
I = 2 \int_{1/2}^{1} \bigl(u^{-7} - u^{-6}\bigr)\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de cada termo:
\int u^{-7}\,du = \frac{u^{-6}}{-6}, \qquad \int u^{-6}\,du = \frac{u^{-5}}{-5}.
Portanto uma primitiva de 2(u^{-7}-u^{-6}) é
F(u) = 2\Bigl(\frac{u^{-6}}{-6} - \frac{u^{-5}}{-5}\Bigr) = -\frac{1}{3}\,u^{-6} + \frac{2}{5}\,u^{-5}.

Passo 5

Agora avaliamos de u=\tfrac12 até u=1:
F(1) = -\frac{1}{3}\cdot1^{-6} + \frac{2}{5}\cdot1^{-5} = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{5} = \tfrac{1}{15},
F\bigl(\tfrac12\bigr) = -\frac{1}{3}\cdot(2^{6}) + \frac{2}{5}\cdot(2^{5}) = -\frac{64}{3} + \frac{64}{5} = -\frac{128}{15}.
Então
I = F(1) - F\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{1}{15} - \Bigl(-\frac{128}{15}\Bigr) = \frac{129}{15} = \frac{43}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{43}{5}

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