Verifique se as funções são solução da equação de calor
a) f(x, t)=e^{-\eta^{2} t} \cos (\eta t), b) f(x, t)=e^{-\eta^{2} c^{2} t} \sin (\eta t) c) f(x, t)=e^{-\eta^{2} t} \operatorname{cosh} (\eta t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada função
\displaystyle f(x,t)
é solução da equação do calor em uma dimensão
\frac{\partial f}{\partial t} = \kappa \,\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
onde \kappa é a difusividade térmica.
Para isso, vamos calcular \partial_t f e \partial_x^2 f em cada caso e checar se
\partial_t f = \kappa\,\partial_x^2 f.

Passo 2

Note que todas as funções dadas dependem apenas de t, ou seja, não há x em nenhuma delas. Portanto
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =0
e a equação do calor exige então
\frac{\partial f}{\partial t}=0.
Assim, somente funções independentes de t (constantes em t) poderiam satisfazer a equação.

Passo 3

Vamos calcular \partial f/\partial t em cada caso.
Para (a)
f(x,t)=e^{-\eta^2 t}\cos(\eta t)
Temos
\frac{\partial f}{\partial t} =\frac{d}{dt}\Bigl(e^{-\eta^2 t}\cos(\eta t)\Bigr) =-\eta^2e^{-\eta^2 t}\cos(\eta t)-\eta\,e^{-\eta^2 t}\sin(\eta t).
Esse resultado não é zero, pois envolve termos em \cos(\eta t) e \sin(\eta t).
Para (b)
f(x,t)=e^{-\eta^2 c^2 t}\sin(\eta t)
Temos
\frac{\partial f}{\partial t} =-\eta^2c^2\,e^{-\eta^2 c^2 t}\sin(\eta t) +\eta\,e^{-\eta^2 c^2 t}\cos(\eta t),
que também não é zero.
Para (c)
f(x,t)=e^{-\eta^2 t}\operatorname{cosh}(\eta t)
Temos
\frac{\partial f}{\partial t} =-\eta^2e^{-\eta^2 t}\operatorname{cosh}(\eta t) +\eta\,e^{-\eta^2 t}\operatorname{sinh}(\eta t),
que de novo não se anula identicamente.

Passo 4

Como em todos os casos \partial^2f/\partial x^2=0 e \partial f/\partial t\neq0, nenhuma das funções satisfaz
\partial_t f=\kappa\,\partial_x^2 f.

Resposta

Nenhuma das funções \emph{(a)}, \emph{(b)} ou \emph{(c)} é solução da equação de calor.

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